Vereinfachte Filterung

Approximation der Likelihood

• Vereinfachung der Likelihood $f(\underline{y} \mid \underline{x})$

• Analog zu vereinfachter Prädiktion

  • Approximierte Repräsentation durch Gaussian Mixture
  • Wichtig: Entkoppelte Komponenten
  $$ f(\underline{y} \mid \underline{x}) = \sum_{i \in \mathbb{Z}} f_i^y(\underline{y}) f_i^x(\underline{x}) $$

Resultierender vereinfachter Filterschritt

Likelihood für konkreten Messwert $\underline{\hat{y}}$:

$$ f^{L}(\underline{x})=f(\underline{\hat{y}} \mid \underline{x})=\sum_{i \in \mathbb{Z}} f_{i}^{y}(\underline{\hat{y}}) \cdot f_{i}^{x}(\underline{x}) $$

Priore Gaussian Mixture:

$$ f^{p}(\underline{x})=\sum_{j=1}^{L} f_{j}^{p}(\underline{x}) $$

$\Rightarrow$ Posterior:

$$ \begin{aligned} f^{e}(\underline{x}) & \propto f^{p}(\underline{x}) \cdot f^{L}(\underline{x}) \\ &= \left(\sum_{i \in \mathbb{z}} f_{i}^{y}(\underline{\hat{y}})\right) \cdot \left(\sum_{j=1}^{L} f_{i}^{p}(\underline{x}) \cdot f_{i}^{k}(\underline{x})\right) \end{aligned} $$

Aber Anzahl der Komponenten nimmt zu! 🤪