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Sample-basierte Filter
Progressive Filterung

Progressive Filterung

Systematisches Resampling

  • Gegeben: Priore Dirac Mixture

    $$ f_{p}(\underline{x})=\sum_{i=1}^{L} w_{i}^{p} \delta(\underline{x}-\underline{\hat{x}}_i^p) $$

  • Filterschritt (Bayes)

    $$ \tilde{f}_e(\underline{x}) \propto f_{p}(\underline{x}) \cdot f_{L}(\underline{x})=\sum_{i=1}^{L} \underbrace{w_{i}^{p} \cdot f_{L}\left(\hat{\underline{x}}_{i}^{p}\right)}_{w_{i}^{e}} \cdot \delta(\underline{x} - \underbrace{\underline{\hat{x}}_{i}^{p}}_{\underline{x}_{i}^{e}}) $$

  • Probleme

    • Falls Support / Träger von $f_L(\cdot)$ kleiner als Support von $f_p(\cdot)$, sterben viele Partikel aus!
    • Positionen $\underline{\hat{x}}_i^e$ sterben aus!

  • Lösung

    • Progressive Verarbeitung
    • Reapproximation durch Optimierung

Progressive Filterung

Progressiv = Der Filterschritt wird nicht in einen Schlag verwendet, sondern wir verwenden mehrere Likelihood, um die Filterung durchzuführen.

Effektives Support:

$$ \alpha_{\varepsilon}(f(\cdot))=\{x: f(x) \geqslant \varepsilon\} \qquad (\alpha-\text{Schritt bei } \epsilon) $$

Gegeben: Likelihood $f_L(\underline{x})$ mit $\alpha_{\varepsilon}(f_L(\cdot)) \ll \alpha_{\varepsilon}(f_p(\cdot))$

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Dekomposition von $f_L(\underline{x}) $

$$ f_L(\underline{x}) = f_L^1(\underline{x}) \cdot f_L^2(\underline{x}) \cdots f_L^k(\underline{x}) $$

Der Produkt von Dichten: $f_L^i(\underline{x})$ “breiter” als $f_L(\underline{x})$ $\rightarrow$ Effektives Support ist größer ($\alpha_{\varepsilon}(f_L^i(\cdot)) > \alpha_{\varepsilon}(f_L(\cdot))$ )

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Note: Dekomposition ist NICHT eindeutig.

Damit kann Filterschritt dekomponiert werden:

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  • In jedem Schritt Gewichtung der prioren Dirac Mixture
  • Reapproximation nach jedem Teil-Filterschritt

Algorithms:

  • $f_e^0 (\underline{x}) = f_p(\underline{x})$

  • For $i \in \{1, \dots, k\}$

    $$ \begin{aligned} \tilde{f}_e^i(\underline{x}) &= f_e^{i-1}(\underline{x}) \cdot f_L^i((\underline{x})) \text{ (gewicht)} \quad \to f_e(\underline{x}) \\ f_e^{i}(\underline{x}) &= \operatorname{Reapproximate}(\tilde{f}_e^i(\underline{x})) \text{ (ungewicht)} \quad \to = f_e^k(\underline{x}) \end{aligned} $$

Reapproximation

Ziel

  • Gegeben: Gewichtete Dirac Mixture

    $$ \tilde{f}(\underline{x}) = \sum_{i=1}^L \tilde{w}_i \cdot \delta(\underline{x} - \underline{\hat{x}}_i) $$

  • Gesucht: Ungewichtete Dirac Mixture

    $$ \tilde{f}(\underline{x}) \approx f(\underline{x}) = \sum_{i=1}^L \frac{1}{L} \cdot \delta(\underline{x} - \underline{\hat{x}}_i) $$

  • Gütemaß: Distanz $D(\tilde{f}(\underline{x}) , f(\underline{x}))$

  • Aber Abstand zwischen Dirac Mixtures in Dichtebereich schwierig 🤪 $\rightarrow$ Wir betrachten die Kumulative Verteilung $\tilde{F}(\underline{x}), F(\underline{x})$

    $$ \begin{aligned} \tilde{F}(\underline{x}) &= \sum_{i=1}^L \tilde{w}_i \cdot H(\underline{x} - \underline{\hat{x}}_i) \\ F(\underline{x}) &= \sum_{i=1}^L \frac{1}{L} \cdot H(\underline{x} - \underline{\hat{x}}_i) \\ \end{aligned} $$

Herausforderungen

Minimalbeispiel: Approximation von zwei Dirac Komponenten durch eine Komponent

$$ \begin{aligned} \tilde{F}(\underline{x}) &= w_1 \cdot H(x - \tilde{x}_1) + w_2 \cdot H(x - \tilde{x}_2) \qquad w_1, w_2 > 0, w_1 + w_2 = 1 \\ F(x) &= H(x - \hat{x}) \end{aligned} $$ 截屏2022-08-15 22.59.28

Cramér–von Mises Distanz:

$$ D=\int_{-\infty}^{\infty}[\tilde{F}(x)-F(x)]^{2} d x=\left(\hat{x}-\tilde{x}_{1}\right) \cdot w_{1}^{2}+\left(\hat{x}-\tilde{x}_{2}\right) \cdot w_{2}^{2} \quad \text{für} \quad \tilde{x}_{1} \leq \hat{x} \leq \tilde{x}_{2} $$ $$ \frac{\partial D}{\partial \hat{x}} = w_1^2 + w_2^2 $$

D.h., Für alle $\hat{x}$ mit $\tilde{x}_{1} \leq \hat{x} \leq \tilde{x}_{2}$ , $D$ is immer minimiert $\rightarrow$ NICHT eindeutig!

Wasserstein-Distanz

截屏2022-08-16 09.40.17 $$ D=\int_{0}^{1}\left[\tilde{F}^{-1}(y)-F^{-1}(y)\right]^{2} d y=w_{1}\left(\hat{x}-\tilde{x}_{1}\right)^{2}+w_{2}\left(\hat{x}-\tilde{x}_{2}\right)^{2} $$ $$ \begin{aligned} &\frac{\partial D}{\partial{x}}=2 w_{1}\left(\hat{x}-\tilde{x}_{1}\right)+2 w_{2}\left(\hat{x}-\tilde{x}_{2}\right) \\ &\Rightarrow \hat{x}=\frac{w_{1} \cdot \tilde{x}_{1}+w_{2} \tilde{x}_{2}}{w_{1}+w_{2}} \quad \text{(Gewichteter Mittelwert)} \end{aligned} $$

Allgemeines Verfahren

截屏2022-08-16 09.50.33 $$ \begin{aligned} &\hat{x}_{1}=\frac{w_{1} \cdot \tilde{x}_{1}+\left(0.5-w_{1}\right) \cdot \tilde{x}_{2}}{0.5} \\ &\hat{x}_{2}=\frac{\left(w_{1}+w_{2}-0.5\right) \tilde{x}_{2}+\left(1-w_{1}-w_{2}\right) \tilde{x}_{3}}{0.5} \end{aligned} $$

Gesamtverfahren: Progressives Filterverfahren mit laufender Reapproximation

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