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SI
Wertekontinuierliche Nichtlineare Systeme
Ensemble Kalmanfilter (EnKF)

Ensemble Kalmanfilter (EnKF)

Motivation

Prädiktionsschritt von Nichtlineares Kalmanfilter (NLKF) $\rightarrow$ speziell Variante sample-basiert

EnKF.drawio

Durch Re-approximation mit Gaußdichte $\rightarrow$ Zusatzinformation verloren

Wenn keine Messungen vorliegen und mehrere Prädiktionsschritte nacheinander $\rightarrow$ Man kann temporär Approximation fortlassen

EnKF-EnKF_Motivation.drawio

Filterschritt von NLKF

$$ \begin{array}{l} \underline{\hat{x}}_{e}=\underline{\hat{x}}_{p}+\mathbf{C}_{x y} \mathbf{C}_{y y}^{-1}(\underline{\hat{y}}-E\{\underline{h}(\underline{x})\}) \\ \mathbf{C}_{e}=\mathbf{C}_{p}-\mathbf{C}_{x y} \mathbf{C}_{y y}^{-1} \mathbf{C}_{y x} \end{array} $$

wobei

$$ \begin{array}{ll} \mathbf{C}_{x x}=\mathbf{C}_{p} \in \mathbb{R}^{N \times N}\quad &\mathbf{C}_{x y} \in \mathbb{R}^{N \times M} \\ \mathbf{C}_{y x} \in \mathbb{R}^{M \times N}\quad &\mathbf{C}_{yy} \in \mathbb{R}^{M \times M} \end{array} $$

Unabhängig von gewähltes Form der Momenteberechnung $\rightarrow$ Hoher Aufwand für Berechnung und Speichern der Kovairanzmatrizen 🤪

Idee

  • Beibehaltung der Samples nach Prädiktionsschritt $\rightarrow$ Keine Re-approximation durch Gauß

  • Damit bleibt Forminformation erhalten und Unsicherheit wird in samples gespeichert.

  • Speicherkomplexität

    • Kalmanfilter (KF)

      • Erwartungswert; $N$
      • Kovarianzmatrix $\frac{N(N+1)}{2}$

      $\Rightarrow$ Insgesamt $\frac{N^2 + 3N}{2}$

    • EnKF

      • Ein sample: $N$
      • $L$ samples: $L \cdot N$ (z.B mit sampling auf der Hauptachse gilt $L = 2N \rightarrow 2N^2$)

  • Aber: spart Aufwand bei Berechnung der Kovarianzmatrix

  • 🎯 Ziel: Rekursive Berechnung des Prädiktionsschritts

Herausforderungen

Gegeben

  • $L$ Samples $\underline{x}_{k, i}, i = 1, \dots, L$

  • Systemabbildung

    $$ \underline{x}_{k+1} = \underline{a}_k(\underline{x}_k, \underline{w}_k) $$

Gesucht: $L^\prime$ Samples $\underline{x}_{k, i+1}, i = 1, \dots, L^\prime$

Wir benötigen Samples für $\underline{w}_k$: $\underline{w}_{k, j}, j = 1, \dots, Q$

‼️ Problem: Abbildung der Kombination aller Samples $\Rightarrow$ Kartesisches Produkt!!! $\Rightarrow$ Anzahl der Samples steigt bei rekursiver Prädiktion exponentiell !!!

EnKF-EnKF_Herausforderung.drawio

Lösungsidee: Begrenzung der Abtastwerte

  • Ziel: Einstellbare Anzahl an Samples $\rightarrow$ um Komplexität zu folgen
  • Einfacher Fall: Konstante Anzahl Samples über Zeit

Anzatz 1: Über Reduktion

  • Prior

    EnKF-Reduktion.drawio

  • Posterior (also Reduktion von $\underline{x}_{k+1, i}$ )

    • braucht $L \cdot Q$ Abbildungen
    • Ergebnis aber oft besser

Ansatz 2: Anzahl von Parren mit Latin Hypercube Sampleing (LHS)

  • Jede Zeile und Spalte darf NUR ein Element erhalten

    EnKF-LHS.drawio

  • Optimale Wahl schwierig

    • Diskretes Gütemaß ist i.d.R. zimliche kompliziert

  • Triviale praktische Umsetzung: Ziehe (Konstante) Samples aus $\underline{w}_k$ für jedes $\underline{x}_{k, i}$ (aber schlecht für wenige Samples)

    Anordnung

    $$ \mathcal{X}_{k}=[\underbrace{\underline{x}_{k, 1}}_{\mathbb{R}^N}, \underline{x}_{k, 2}, \ldots, \underline{x}_{k, L}] \in \mathbb{R}^{N \times L}, \quad \mathcal{W}_{k}=\left[\underline{w}_{k, 1}, \underline{w}_{k, 2}, \ldots, \underline{w}_{k, L}\right] \in \mathbb{R}^{N \times L} $$

    Jede $\underline{x}_{k, i}$ und $\underline{w}_{k, j}$ ist ein Vektor.

    $\underline{a}_k$ überladen:

    $$ \mathcal{X}_{k+1} = \underline{a}_k(\mathcal{X}_{k}, \mathcal{W}_{k}) $$

Filterschritt

🎯 Ziel

  • Durchführung der Filterschritt NUR mit Samples
    • Direkte Überführung der prioren Samples in posteriore Samples
  • Vermeidung der Verwendung der Update-Formeln für Kovarianzmatrix
    • Reine Representation der Unsicherheiten durch Samples

Lineare Messungabbildung

$$ \underline{y}=\mathbf{H} \cdot \underline{x}+\underline{v} $$

Für gegebene Messung $\hat{y}$:

$$ \underbrace{\underline{\hat{y}}-\underline{v}}_{=:\hat{\mathcal{Y}}}=\mathbf{H} \cdot \underline{x} $$

Mess-sampleset:

$$ \hat{\mathcal{Y}}=\underline{\hat{y}} \cdot \underline{\mathbb{1}}^{\top}-\mathcal{V} \qquad \mathcal{V}=\left[\underline{v}_{1}, \underline{v}_{2}, \ldots, \underline{v}_{L}\right] $$

EnKF-Mess-sampleset.drawio

Damit ist Update des Zustands in “combination form”

$$ \mathcal{X}_{e}=(\mathbf{I}-\mathbf{K} \mathbf{H}) \mathcal{X}_{p}+\mathbf{K} \mathcal{\hat{Y}} $$

$\mathcal{X}$ und $\mathcal{Y}$ sind Matrizen

wäre begrenzt auf additives Rauschen, aber funktioniert direkt für nichtlineare Messabbildung $\underline{y}=\underline{h}(\underline{x}, \underline{v})$.

Alternative Herleitung

  • Prädizierte Mess-samples basierend auf prioren Samples und Rauschen-samples:

    $$ \mathcal{Y} = \mathbf{H} \cdot \mathcal{X}_p + \mathcal{V} $$

  • Update des Zustands in “feedback form”

    $$ \begin{aligned} \mathcal{X}_e &= \mathcal{X}_p + \mathbf{K}(\underbrace{\underline{\hat{y}} \cdot \underline{\mathbf{1}}^\top}_{\text{gemessen}} - \underbrace{\mathcal{Y}}_{\text{Prädiktion}}) \\\\ &= \mathcal{X}_e + \mathbf{K}(\underline{\hat{y}} \cdot \underline{\mathbf{1}}^\top - \mathbb{H} \mathcal{X}_p - \mathcal{V})\\\\ &= (\mathbb{I} - \mathbf{K}\mathbf{H})\mathcal{X}_p + \mathbf{K}(\underbrace{\underline{\hat{y}} \cdot \underline{\mathbf{1}}^\top - \mathcal{V}}_{=\hat{\mathcal{Y}}}) \end{aligned} $$