Nutzung „einfacher“ Filter für stark nichtlineare Systeme 2 Variante Approximation der Zustandsdichten durch Gaussian Mixture $\rightarrow$ Bank von nichtlinearen Kalman Filter für Prädiktion und Filterung Approximation aller Dichten durch wertdiskrete Repräsentation $\rightarrow$ Wertdiskreter Filter Gaussian Mixture Filter Motivation Approximation der Zustandsschätzung durch Gaussian Mixture
2022-08-09
Vorwärtsinferenz Gegeben $f_a(a)$ $g(a)$ Gesucht: $f_b(b)$ Schritte: Umforme $f(b \mid a) = \delta(b - g(a))$ mit $$ \delta (g(x)) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{|g^\prime(x_i)|}\delta (x - x_i) $$ wobei $g(x_i) = 0$ (also $x_i$ sind Nullstellen, $i = 1, 2, \dots, N$) $g^\prime(x_i) \neq 0$ Berechne $f_b(b)$ mithilfe von Chapman-Kolmogorov-Gleichung
2022-08-07
Approximation der Likelihood Vereinfachung der Likelihood $f(\underline{y} \mid \underline{x})$ Analog zu vereinfachter Prädiktion Approximierte Repräsentation durch Gaussian Mixture Wichtig: Entkoppelte Komponenten $$ f(\underline{y} \mid \underline{x}) = \sum_{i \in \mathbb{Z}} f_i^y(\underline{y}) f_i^x(\underline{x}) $$ Resultierender vereinfachter Filterschritt Likelihood für konkreten Messwert $\underline{\hat{y}}$:
2022-08-03
Faktorgraphen Regeln Beispiel Message Passing Definiere Nachricht an einer Kante Schnitt zur Aufteilung eines Systems in 2 Teile Betrachtung von Block mit einem Eingang und einem Ausgang Gegeben: $R_x$ und $L_y$
2022-08-03
Skript 10.4 Rückwärtsinferenz: Inferenz entgegen der modellierter Abhängigkeit mit gegebenen Vorwissen Zwei Fälle Konkrekter Wert für Ausgang (Messung) gegeben Dichte für Ausgang gegeben Rückwärtsinferenz mit Konkrektem Messwert Skript 10.4.1 Übungsblatt Aufg.
2022-08-03
Skript 10.2, 10.3 Chapman-Kolmogorov-Gleichung Übungsblatt Aufg. 10.1 Verbunddichte $$ f\left(\underline{x}_{k+1}, \underline{x}_{k}\right)=f\left(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_{k}\right) \cdot f\left(\underline{x}_{k}\right) $$ Marginalisierung $$ f\left(x_{k+1}\right)=\int_{\mathbb{R}^{N}} f\left(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_{k}\right) \cdot f\left(\underline{x}_{k}\right) d \underline{x}_{k} $$ Definition geschätzte Dichte im Zeitschritt $k$ einschließlich der letzten Messung
2022-07-27
Skript 10.1, 10.2 Abstrahierte Systembeschreibung & Eigenschaften Alle Komponenten eines Systems können durch beschrieben werden ($\underline{a} \in \mathbb{R}^A, \underline{b}\in \mathbb{R}^b$ ) . Kauselität: $a$ (Grund) bewrikt $b$ (Wirkung). Für $\underline{a}$ gegeben, $f(\underline{b} \mid \cdot)$ heißt Transitionsdichte.
2022-07-27
Mit Additivem Rauschen Allgemein: $$ \underline{z} = \underline{a}(\underline{x}) + \underline{v} $$ $\Rightarrow$ $$ f(\underline{z} \mid \underline{x})=f_v(\underline{z}-\underline{a}(\underline{x})) $$ Beispiel: $$ z = x^2 + v \qquad v \sim f_v(v) $$ Gesucht: $f(z|x)$
2022-07-24
Abbildung $$ y = h(x) $$ Gegeben: $x \sim f_x(x)$ Gesucht: $y \sim f_y(y)$ Verbunddichte $$ f_{xy}(x, y) = f(y | x) \cdot f_x(x) $$ $f(y|x)$ kann als probabilistische Beschreibung der Abbildung anfassen.
2022-07-24
Mehr zu Dirac’sche Deltafunktion siehe: Eigenschaften Symmetrie $$ \delta (x) = \delta (-x) $$ Skalierung $$ \delta (ax) = \frac{1}{|a|}\delta (x) $$ Kompizierte Argumente $$ \delta (g(x)) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{|g^\prime(x_i)|}\delta (x - x_i) $$ wobei
2022-07-24