Lecture Notes

Produkt zweier Gaußdichten Gegeben $$ \begin{aligned} f_1(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_1} \exp\left\{-\frac{1}{2} \frac{(x - m_1)^2}{\sigma_1^2}\right\} \\ f_2(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_2} \exp\left\{-\frac{1}{2} \frac{(x - m_2)^2}{\sigma_2^2}\right\} \end{aligned} $$ Gesucht: $$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left\{-\frac{1}{2} \frac{(x - m)^2}{\sigma_1^2}\right\} \\\\ &\propto f_1(x) \cdot f_2(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_1}\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_2} \cdot e^{-\frac{1}{2} \frac{(x - m_1)^2}{\sigma_1^2}} e^{-\frac{1}{2} \frac{(x - m_2)^2}{\sigma_2^2}} \end{aligned} $$ Exponent:

2022-08-15

Naives Partikelfilter Prädiktions- und Filterschritt Übungsblatt Aufg. 13.2 Prädiktionsschritt Zum Startzeitpunkt (z.B. $k=0$): Initiale Samples gegeben $$ f_{k}^{e}\left(\underline{x}_{k}\right)=\sum_{i=1}^{L} w_{k}^{e, i} \cdot \delta\left(\underline{x}_{k}-\underline{\hat{x}}_{k}^{e, i}\right) \qquad w_{k}^{e, i}=\frac{1}{L}, i \in\left\{1, \ldots, L\right\} $$ Prädiktion mithilfe des probabilistischen Systemmodells $f(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_k)$

2022-08-14

4 cases Examples for reapproximation Continuous → continuous: Gaussian mixture reduction Continuous → discrete: deterministic sampling, i.e., replacing a continuous density with Dirac mixture Discrete → continuous: density estimation, i.e., finding a continuous density representing a set of given samples

2022-08-10

Erzeugung von Samples $$ y_i = m + \sigma \cdot w_i \quad w_i \in \mathcal{N}(0, 1) \quad i = 1, \dots , L $$ $w_i$: Grundsamples $m$: Mittelwert Check: $$ \begin{aligned} &E\left\{y_{i}\right\}=E\left\{m+\sigma \cdot w_{i}\right\}=E\{m\}+\sigma \cdot E\left\{w_{i}\right\}=m \\ &E\left\{\left(y_{i}-m\right)^{2}\right\}=E\left\{\left(\sigma \cdot w_{i}\right)^{2}\right\}=\sigma^{2} E\left\{w_{i}^{2}\right\}=\sigma^{2} \end{aligned} $$ Empirische Schätzer

2022-08-10

2022-08-10

Nutzung „einfacher“ Filter für stark nichtlineare Systeme 2 Variante Approximation der Zustandsdichten durch Gaussian Mixture $\rightarrow$ Bank von nichtlinearen Kalman Filter für Prädiktion und Filterung Approximation aller Dichten durch wertdiskrete Repräsentation $\rightarrow$ Wertdiskreter Filter Gaussian Mixture Filter Motivation Approximation der Zustandsschätzung durch Gaussian Mixture

2022-08-09

Vorwärtsinferenz Gegeben $f_a(a)$ $g(a)$ Gesucht: $f_b(b)$ Schritte: Umforme $f(b \mid a) = \delta(b - g(a))$ mit $$ \delta (g(x)) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{|g^\prime(x_i)|}\delta (x - x_i) $$ wobei $g(x_i) = 0$ (also $x_i$ sind Nullstellen, $i = 1, 2, \dots, N$) $g^\prime(x_i) \neq 0$ Berechne $f_b(b)$ mithilfe von Chapman-Kolmogorov-Gleichung

2022-08-07

Approximation der Likelihood Vereinfachung der Likelihood $f(\underline{y} \mid \underline{x})$ Analog zu vereinfachter Prädiktion Approximierte Repräsentation durch Gaussian Mixture Wichtig: Entkoppelte Komponenten $$ f(\underline{y} \mid \underline{x}) = \sum_{i \in \mathbb{Z}} f_i^y(\underline{y}) f_i^x(\underline{x}) $$ Resultierender vereinfachter Filterschritt Likelihood für konkreten Messwert $\underline{\hat{y}}$:

2022-08-03

Faktorgraphen Regeln Beispiel Message Passing Definiere Nachricht an einer Kante Schnitt zur Aufteilung eines Systems in 2 Teile Betrachtung von Block mit einem Eingang und einem Ausgang Gegeben: $R_x$ und $L_y$

2022-08-03

Skript 10.4 Rückwärtsinferenz: Inferenz entgegen der modellierter Abhängigkeit mit gegebenen Vorwissen Zwei Fälle Konkrekter Wert für Ausgang (Messung) gegeben Dichte für Ausgang gegeben Rückwärtsinferenz mit Konkrektem Messwert Skript 10.4.1 Übungsblatt Aufg.

2022-08-03