Skript 10.2, 10.3 Chapman-Kolmogorov-Gleichung Übungsblatt Aufg. 10.1 Verbunddichte $$ f\left(\underline{x}_{k+1}, \underline{x}_{k}\right)=f\left(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_{k}\right) \cdot f\left(\underline{x}_{k}\right) $$ Marginalisierung $$ f\left(x_{k+1}\right)=\int_{\mathbb{R}^{N}} f\left(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_{k}\right) \cdot f\left(\underline{x}_{k}\right) d \underline{x}_{k} $$ Definition geschätzte Dichte im Zeitschritt $k$ einschließlich der letzten Messung
2022-07-27
Skript 10.1, 10.2 Abstrahierte Systembeschreibung & Eigenschaften Alle Komponenten eines Systems können durch beschrieben werden ($\underline{a} \in \mathbb{R}^A, \underline{b}\in \mathbb{R}^b$ ) . Kauselität: $a$ (Grund) bewrikt $b$ (Wirkung). Für $\underline{a}$ gegeben, $f(\underline{b} \mid \cdot)$ heißt Transitionsdichte.
2022-07-27
Mit Additivem Rauschen Allgemein: $$ \underline{z} = \underline{a}(\underline{x}) + \underline{v} $$ $\Rightarrow$ $$ f(\underline{z} \mid \underline{x})=f_v(\underline{z}-\underline{a}(\underline{x})) $$ Beispiel: $$ z = x^2 + v \qquad v \sim f_v(v) $$ Gesucht: $f(z|x)$
2022-07-24
Abbildung $$ y = h(x) $$ Gegeben: $x \sim f_x(x)$ Gesucht: $y \sim f_y(y)$ Verbunddichte $$ f_{xy}(x, y) = f(y | x) \cdot f_x(x) $$ $f(y|x)$ kann als probabilistische Beschreibung der Abbildung anfassen.
2022-07-24
Mehr zu Dirac’sche Deltafunktion siehe: Eigenschaften Symmetrie $$ \delta (x) = \delta (-x) $$ Skalierung $$ \delta (ax) = \frac{1}{|a|}\delta (x) $$ Kompizierte Argumente $$ \delta (g(x)) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{|g^\prime(x_i)|}\delta (x - x_i) $$ wobei
2022-07-24
Bisher: Systeme immer durch Gaußdichte repräsentiert. Systemgleichung $$ \underline{x}_{k+1} = \underline{a}_k (\underline{x}_k, \underline{w}_k) $$ kann durch Transitionsdichte $f(\underline{x}_{x+1} | \underline{x}_k)$ beschrieben werden. Messgleichung $$ \underline{y}_k = \underline{h}_k (\underline{x}_k, \underline{v}_k) $$ kann durch Likelihhod $f(\underline{y}_k | \underline{x}_k)$ beschrieben werden.
2022-07-24
2022-07-17
Motivation Prädiktionsschritt von Nichtlineares Kalmanfilter (NLKF) $\rightarrow$ speziell Variante sample-basiert Durch Re-approximation mit Gaußdichte $\rightarrow$ Zusatzinformation verloren Wenn keine Messungen vorliegen und mehrere Prädiktionsschritte nacheinander $\rightarrow$ Man kann temporär Approximation fortlassen
2022-07-15
Analytische Momente Scheinbar die beste Methode, da schnell & feste Laufzeit 👍 Aber Herleitung aufwändig Formeln werden schnell unhandlich groß Beispiel: Kubisches Sensorproblem (skalar) Output $y$ ist nonlinear abhängig von dem Zustand $x$:
2022-07-11
Skalarer Fall (1D) $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left\{-\frac{1}{2} \frac{(x-\hat{x})^{2}}{\sigma^{2}}\right\} $$ Erwartungswert $$ E_{f}\{x\}=\hat{x} $$ Varianz $$ E_{f}\left\{(x-\hat{x})^{2}\right\}=\sigma^{2} $$ Given the parameters $\mu$ and $\sigma$ of a Gaussian density, mean and variance are already given.
2022-07-03