Skript 10.2, 10.3 Chapman-Kolmogorov-Gleichung Übungsblatt Aufg. 10.1 Verbunddichte $$ f\left(\underline{x}_{k+1}, \underline{x}_{k}\right)=f\left(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_{k}\right) \cdot f\left(\underline{x}_{k}\right) $$ Marginalisierung $$ f\left(x_{k+1}\right)=\int_{\mathbb{R}^{N}} f\left(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_{k}\right) \cdot f\left(\underline{x}_{k}\right) d \underline{x}_{k} $$ Definition geschätzte Dichte im Zeitschritt $k$ einschließlich der letzten Messung
2022-07-27
Skript 10.1, 10.2 Abstrahierte Systembeschreibung & Eigenschaften Alle Komponenten eines Systems können durch beschrieben werden ($\underline{a} \in \mathbb{R}^A, \underline{b}\in \mathbb{R}^b$ ) . Kauselität: $a$ (Grund) bewrikt $b$ (Wirkung). Für $\underline{a}$ gegeben, $f(\underline{b} \mid \cdot)$ heißt Transitionsdichte.
2022-07-27
Mit Additivem Rauschen Allgemein: $$ \underline{z} = \underline{a}(\underline{x}) + \underline{v} $$ $\Rightarrow$ $$ f(\underline{z} \mid \underline{x})=f_v(\underline{z}-\underline{a}(\underline{x})) $$ Beispiel: $$ z = x^2 + v \qquad v \sim f_v(v) $$ Gesucht: $f(z|x)$
2022-07-24
Abbildung $$ y = h(x) $$ Gegeben: $x \sim f_x(x)$ Gesucht: $y \sim f_y(y)$ Verbunddichte $$ f_{xy}(x, y) = f(y | x) \cdot f_x(x) $$ $f(y|x)$ kann als probabilistische Beschreibung der Abbildung anfassen.
2022-07-24
Mehr zu Dirac’sche Deltafunktion siehe: Eigenschaften Symmetrie $$ \delta (x) = \delta (-x) $$ Skalierung $$ \delta (ax) = \frac{1}{|a|}\delta (x) $$ Kompizierte Argumente $$ \delta (g(x)) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{|g^\prime(x_i)|}\delta (x - x_i) $$ wobei
2022-07-24
Bisher: Systeme immer durch Gaußdichte repräsentiert. Systemgleichung $$ \underline{x}_{k+1} = \underline{a}_k (\underline{x}_k, \underline{w}_k) $$ kann durch Transitionsdichte $f(\underline{x}_{x+1} | \underline{x}_k)$ beschrieben werden. Messgleichung $$ \underline{y}_k = \underline{h}_k (\underline{x}_k, \underline{v}_k) $$ kann durch Likelihhod $f(\underline{y}_k | \underline{x}_k)$ beschrieben werden.
2022-07-24
Intuition “It is easier to approximate a probability distribution than it is to approximate an arbitrary nonlinear function” Idea We perform a nonlinear transformation $h(x)$ on the 1D gaussian distribution (left), the result is a more complicated 1D distribution (right).
2022-07-21
Linearization Error Recap: The EKF works by linearizing the nonlinear motion and measurement models to update the mean and covariance of the state. The difference between the linear approximation and the nonlinear function is called linearization error
2022-07-21
What’s in a State? We can think of the vehicle state as composed of two parts $$ \underbrace{\mathbf{x}}_{\text{True state|}}=\underbrace{\hat{\mathbf{x}}}_{\text{Nominal state ("Large")}}+\underbrace{\delta \mathbf{x}}_{\text{Error state ("small")}} $$ 💡 Idea Instead of doing Kalman Filter in the full state (which might have lots of complicated nonlinear behaviours).
2022-07-20
Motivation Linear systems do not exist in reality. We have to deal with nonlinear discrete-time systems $$ \begin{aligned} \underbrace{\mathbf{x}_{k}}_{\text{current state}}&=\mathbf{f}_{k-1}(\underbrace{\mathbf{x}_{k-1}}_{\text{previous state}}, \underbrace{\mathbf{u}_{k-1}}_{\text{inputs}}, \underbrace{\mathbf{w}_{k-1}}_{\text{process noise}}) \\\\ \underbrace{\mathbf{y}_{k}}_{\text{measurement}}&=\mathbf{h}_{k}(\mathbf{x}_{k}, \underbrace{\mathbf{v}_{k}}_{\text{measurement noise}}) \end{aligned} $$ How can we adapt Kalman Filter to nonlinear discrete-time systems?
2022-07-20