SI

2022-06-22

Für eine Matrix $\mathbf{C}$ gilt $$ \frac{\partial}{\partial \mathbf{C}}\left(\underline{a}^{\top} \cdot \mathbf{C} \cdot \underline{b}\right)=\underline{a} \cdot \underline{b}^{\top} $$ Beispiel $$ Q=\underbrace{\left[\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \end{array}\right]}_{\boldsymbol{a}^\top}\left[\begin{array}{ll} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array}\right]\underbrace{\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \end{array}\right]}_{\boldsymbol{b}}=a_{1} b_{1} \cdot c_{11}+a_{2} b_{1} c_{21}+a_{1} b_{2} c_{12}+a_{2} b_{2} c_{22} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}^\top $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial \mathbf{C}}=\left[\begin{array}{ll} \frac{\partial Q}{\partial C_{12}} & \frac{\partial Q}{\partial C_{12}} \\ \frac{\partial Q}{\partial C_{21}} & \frac{\partial Q}{\partial C_{22}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \end{array}\right] $$ Für eine symmetrische Matrix $\mathbf{C}$:

2022-06-17

Die ausführliche Zusammenfassung für Kalman Filter siehe hier. Prädiktion Wir möchte ein Schritt Prädiktion für Zustand machen, also am Zeitschritt $k$ ($k > m$, $m:= \text{\#Messungen}$) die Prädiktion für den Zustand $\underline{x}_{k+1}$ zu machen

2022-06-16

Linearität Gegeben ein System $S$ $$ \underline{x}_k \rightarrow \underline{y}_k \qquad k \in \mathbb{N}_0 $$ Zwei Bedingungen der Linearität Skalierung $$ \underline{x}_k \rightarrow \underline{y}_k \Rightarrow A \cdot \underline{x}_k \rightarrow A \cdot \underline{y}_k $$ Superposition

2022-06-16

2022-06-15

Vorbemerkungen Bayessches Gesetz und erweiterte Konditionierung $$ \begin{array}{l} &P(a \mid b) \cdot P(b)=P(a, b)=P(b \mid a) \cdot P(a) \\\\ \Rightarrow &P(b \mid a)=\frac{P(a | b) \cdot P(b)}{P(a)} \end{array} $$ Erweiterte Konditionierung:

2022-06-08

Verteilungsfunktion und Dichte Eine vektorwertige Funktion $$ \underline{X}=\underline{X}(\omega): \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ die jedem Ergebnis $\omega \in \Omega$ einen Vektor $\underline{x}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]$ zuordnet, heißt mehrdimensionale Zufallsvariable, wenn das Urbild eines jeden Intervalls $I_{\underline{a}}=\left(-\infty, a_{1}\right] \times\left(-\infty, a_{2}\right] \subset \mathbb{R}^{2}$ ein Ereignis ist

2022-06-05

Zufallsvariablen Zufallsvariablen werden auf den SI-Übungsblättern durch kleine, fettgedruckte Buchstaben gekennzeichnet, z.B. $X$. Diese Notation wird nicht auf den handschriftlichen Mitschrieben umgesetzt, sodass Zufallsvariablen und „normale“ Variablen meistens aus dem Kontext heraus unterschieden werden müssen.

2022-06-04

Definition Die Delta-Distribution (aka. Dirac-Funktion, Dirac-Maß, Impulsfunktion) ist eine spezielle irreguläre Distribution mit kompaktem Träger. $$ \begin{array}{c} \delta(x)=0, \quad x \neq 0 \\\\ \displaystyle \int_{a}^{b} \delta(x) \mathrm{d} x=1, \quad a<0

2022-06-04

Ereignisse Ein endlicher Ergebnisraum eines Zufallsexperimentes ist eine nichtleere Menge $$ \Omega=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{N}\right\}. $$ I.e., $\Omega$ enthält alle mögliche Ergebnisse. Die Elemente $\omega_{n} \in \Omega$ heißen Ergebnisse, die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.

2022-06-04