SI

2022-09-14

Allgemeine Fragen Was haben wir in der Vorlesung gemacht/gelernt/behandelt? Was ist Zustandsschätzung? Was ist Zustand? Welche Arten von Systemen sind einfach? Warum? Wertdiskret und wertkontinuierlich linear. Grund: konstanter Rechen- und Speicherbedarf

2022-09-13

Reapproximation von Dichten Approximate original continuous density with discrete Dirac Mixture $$f(\underline{x})=\sum_{i=1}^{L} w_{i} \cdot \delta\left(\underline{x}-\underline{\hat{x}}_{i}\right)$$ Weights $w_{i}>0, \displaystyle \sum_{i=1}^{L} w_{i}=1$ $\underline{x}_i$: locations / samples In univariate case (1D), compare cumulative distribution functions (CDFs) $\tilde{F}(x), F(x)$ using Cramér–von Mises distance:

2022-08-28

Generatives und probabilistisches Modell Für Herleitung ist es super wichtig, die Eigenschaft der Dirac’schen Funktion anzuwenden: $$\delta (g(x)) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{|g^\prime(x_i)|}\delta (x - x_i)$$ $g(x_i) = 0$ $g^\prime(x_i) \neq 0$ Mit Additivem Rauschen Generatives Modell:

2022-08-25

Lineare Vs. Nichtlineare Systeme Linear Nichtlinear Systemabbildung $\underline{x}_{k+1} = \mathbf{A}_k \underline{x}_k + \mathbf{B}_k (\underline{u}_k + \underline{w}_k)$ $\underline{x}_{k+1} = \underline{a}_k(\underline{x}_k, \underline{u}_k, \underline{w}_k)$ Messabbildung $\underline{y}_{k} = \mathbf{H}_k \underline{x}_k + \underline{v}_k$ $\underline{y}_k = \underline{h}_k (\underline{x}_k, \underline{v}_k)$ Extended Kalman Filter (EKF) 💡 Idee: Linearisierung mit Tylorentwicklung 1.

2022-08-24

Kalman Filter Prädiktion $$\underline{\hat{x}}_k^p = \mathbf{A}_{k-1}\underline{\hat{x}}_{k-1}^e + \mathbf{B}_{k-1} \underline{\hat{u}}_{k-1}$$ $$\mathbf{C}_k^p = \mathbf{A}_{k-1} \mathbf{C}_{k-1}^e A_{k-1}^\top + \mathbf{B}_{k-1} \mathbf{C}_{k-1}^w \mathbf{B}_{k-1}^\top$$ Filterung $$\mathbf{K}_k = \mathbf{C}_k^p \mathbf{H}_k^\top (\mathbf{C}_k^v + \mathbf{H}_k \mathbf{C}_k^p \mathbf{H}_k ^\top)^{-1} \tag{Kalman Gain}$$ $$\underline{\hat{x}}_k^e = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \underline{\hat{x}}_k^p + \mathbf{K}_k \underline{\hat{y}}_k = \underline{\hat{x}}_k^p + \mathbf{K}_k(\underline{\hat{y}}_k - \mathbf{H}_k \underline{\hat{x}}_k^p)$$ $$\mathbf{C}_k^e = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k)\mathbf{C}_k^p = \mathbf{C}_k^p - \mathbf{C}_k^p \mathbf{H}_k^\top (\mathbf{C}_k^v + \mathbf{H}_k \mathbf{C}_k^p \mathbf{H}_k ^\top)^{-1}\mathbf{H}_k \mathbf{C}_k^p$$ Kalman Filter (vektoriell) herleiten Prädiktion Systemabbildung

2022-08-22

Wonham Filter Zustandschätzung für wertediskrete Systeme: Wonham Filter Prädiktion $$\underline{\xi}_{k}^{p}=\mathbf{A}^{\top} \underline{\xi}_{k-1}^{e}$$ Filterung $$\underline{\xi}_{k}^{e} \overset{y_k = m}{=} \frac{\mathbf{B}(:, m) \odot \underline{\xi}_{k}^{p}}{\mathbf{B}(:, m)^\top \cdot \underline{\xi}_{k}^{p}}$$ Üb 4, A2 Herleitung

2022-08-20

Vorlesung in eigenen Worten zusammenfassen Die SI Vorlesung vermittelt die fundamentalen und formalen Grundlagen der Zustandsschätzung rund um Prädiktion und Filterung. Vier behandelten Typen von Systemen erläutern Nennen Zusammenhänge Unterschiede Limitierungen Komplexität einer Implementierung der zugehörigen Schätzer 4 Type von Systeme

2022-08-18

2022-08-18

Systematisches Resampling Gegeben: Priore Dirac Mixture $$f_{p}(\underline{x})=\sum_{i=1}^{L} w_{i}^{p} \delta(\underline{x}-\underline{\hat{x}}_i^p)$$ Filterschritt (Bayes) $$\tilde{f}_e(\underline{x}) \propto f_{p}(\underline{x}) \cdot f_{L}(\underline{x})=\sum_{i=1}^{L} \underbrace{w_{i}^{p} \cdot f_{L}\left(\hat{\underline{x}}_{i}^{p}\right)}_{w_{i}^{e}} \cdot \delta(\underline{x} - \underbrace{\underline{\hat{x}}_{i}^{p}}_{\underline{x}_{i}^{e}})$$ Probleme Falls Support / Träger von $f_L(\cdot)$ kleiner als Support von $f_p(\cdot)$, sterben viele Partikel aus!

2022-08-15