Abstraktion

Abstrahierte Systembeschreibung & Eigenschaften

Alle Komponenten eines Systems können durch

beschrieben werden ($\underline{a} \in \mathbb{R}^A, \underline{b}\in \mathbb{R}^b$ ) .

Kauselität: $a$ (Grund) bewrikt $b$ (Wirkung).

Für $\underline{a}$ gegeben, $f(\underline{b} \mid \cdot)$ heißt Transitionsdichte.

Für $\underline{b}$ gegeben, $f(\cdot \mid \underline{a})$ heißt Likelihood.

Eigenschaften von probabilistischer Systembeschreibung

In Allg. gilt

$$ \int_{\mathbb{R}^{B}} f(\underline{b} \mid \underline{a}) d \underline{b}=1 \quad \forall \underline{a} $$

Es gilt aber i.A.

$$ \int_{\mathbb{R}^{A}} f(\underline{b} \mid \underline{a}) d \underline{a} \neq 1, $$

sogar nicht definiert.

Vorwärts-/Rückwärtsinferenz

Vorwärtsinferenz

“Given information about $\underline{a}$, we desire information about $\underline{b}$.”

• Gegeben: Werte für $\underline{\hat{a}}$ oder Dichte $f(\underline{a})$
• Gesucht: $f(\underline{b})$

Rückwärtsinferenz

“Information about the output $\underline{b}$ is given and we desire to reconstruct an appropriate description of $\underline{a}$.”

• Gegeben: Werte für $\underline{\hat{b}}$ oder Dichte $f(\underline{b})$
• Gesucht: $f(\underline{a})$

Vorwärtsinferenz

Annahme: KEIN Vorwissen über $f(\underline{b})$

Betrachte eine einfache generative Systemabbildung:

$$ \underline{b} = \underline{g}(\underline{a}) \quad \underline{a} \in \mathbb{R}^A, \underline{b} \in \mathbb{R}^B $$

Probablistische Systemabbildung:

$$ f(\underline{b} \mid \underline{a}) = \delta(\underline{b} - \underline{g}(\underline{a})) $$

Marginalisierung ergibt:

$$ \begin{aligned} f(\underline{b}) &= \int_{\mathbb{R}^A} f(\underline{a}, \underline{b}) d\underline{a} \\\\ &= \int_{\mathbb{R}^A} f(\underline{a} \mid \underline{b}) f(\underline{a}) d\underline{a} \\\\ &= \int_{\mathbb{R}^A} \delta(\underline{b} - \underline{g}(\underline{a})) f(\underline{a}) d\underline{a} \end{aligned} $$

Weitere Vereinfachung NUR für konkrete $\underline{g}(\cdot)$ möglich.

Für Speizialfall der Vorgabe eines Wertes $\underline{\hat{a}}$ ergibt sich

$$ f(\underline{a}) = \delta(\underline{a} - \underline{\hat{a}}) $$

Damit

$$ \begin{aligned} f(\underline{b}) &= \int_{\mathbb{R}^A} \delta(\underline{b} - \underline{g}(\underline{a})) f(\underline{a}) d\underline{a} \\\\ &= \int_{\mathbb{R}^A} \delta(\underline{b} - \underline{g}(\underline{a})) \delta(\underline{a} - \underline{\hat{a}}) d\underline{a} \\\\ &= \delta(\underbrace{\underline{b} - g(\underline{\hat{a}})}_{\underline{\hat{b}}}) \end{aligned} $$

Das erwartete Ergebnis ist dann

$$ f(\underline{b}) = \delta(\underline{b} - \underline{\hat{b}}) $$

mit $\underline{\hat{b}} = \underline{g}(\underline{\hat{a}})$.

Probabilistisches nichtlineares Systemmodell

Allgemeines Systemmodell

$$ \underline{x}_{k+1} = \underline{a}_k(\underline{x}_k, \underline{w}_k) $$

in Form $f(\underline{b} \mid \underline{a})$ bringen:

$$ \underline{a}=\left[\begin{array}{c} \underline{x}_{k} \\ \underline{w}_{k} \end{array}\right], \quad \underline{b}=\underline{x}_{k+1} $$ $$ f(\underline{b} \mid \underline{a}) = \delta \left(\underline{x}_{k+1} - \underline{a}_k(\underline{x}_k, \underline{w}_k)\right) $$

Mit anderen Systemgrenzen:

$$ \begin{aligned} f(\underline{b} \mid \underline{a}^\prime) &= f(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_k) \\\\ &= \int_{\mathbb{R}^N} \underbrace{f(\underline{x}_{k+1} \mid \underline{x}_k, \underline{w}_k)}_{f(\underline{b} \mid \underline{a})} \cdot f(\underline{w}_k) d\underline{w}_k \end{aligned} $$

In diesem Fall enthält $f(\underline{b} \mid \underline{a})$ Systemrauschen $\rightarrow$ ist nicht mehr durch $\delta$-funktion beschreibbar.