Funktionen von Zufallsvariablen
Abbildung
$$ y = h(x) $$Gegeben: $x \sim f_x(x)$
Gesucht: $y \sim f_y(y)$
Verbunddichte
$$ f_{xy}(x, y) = f(y | x) \cdot f_x(x) $$$f(y|x)$ kann als probabilistische Beschreibung der Abbildung anfassen.
Dichte von $y$
$$ f_{y}(y)=\int_{\mathbb{R}} f_{x y}(x, y) d x=\int_{\mathbb{R}} f(y \mid x) \cdot f_{x}(x) d x $$Probabilistische Abbildung:
$$ f(y|x) = \delta(y - h(x)) $$Damit folgt
$$ f_y(y)=\int_{\mathbb{R}} \delta(\underbrace{y-h(x)}_{g(x)}) f_x(x) d x $$Beispiel
Beispiel 1
Gegeben
$$ y = \frac{1}{x} \qquad x \sim f_x(x) $$Probabilistische Abbildung:
$$ f(y|x) = \delta(\underbrace{y - \frac{1}{x}}_{=g(x)}) $$ $$ g(x_1) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{y} \qquad g^\prime(x) = \frac{1}{x^2} $$Laut
$$ \delta (g(x)) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{|g^\prime(x_i)|}\delta (x - x_i) $$gilt
$$ f(y|x) = \delta(y - \frac{1}{x}) = x_1^2 \delta(x - \frac{1}{y}) = \frac{1}{y^2} \delta(x - \frac{1}{y}) $$ $$ \begin{aligned} f_y(y) &= \int_{\mathbb{R}} f(y | x) \cdot f_{x}(x) d x \\ &= \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{y^2} \delta(x - \frac{1}{y}) f_{x}(x) d x \\ &= \frac{1}{y^2} f_{x}(\frac{1}{y}) \end{aligned} $$Z.B., wenn $x$ gaußverteilt, also $f_x(x) = e^{-x^2}$ , dann kann man die Dichte von $y$ sofort berechnen:
$$ f_y(y) = \frac{1}{y^2} e^{-\frac{1}{y^2}} $$Beispiel 2: Quadratic Function
$$ \begin{aligned} &\delta(g(x))=\delta\left(y-a x^{2}\right), \quad a>0 \\ &\Rightarrow g(x)=y-a x^{2} \\ &\Rightarrow g^{\prime}(x)=-2 a x \end{aligned} $$Fallunterscheidung
$$ \begin{aligned} &g\left(x_{i}\right)=0 \\ &y \geq 0: N=2, \quad x_{1}=\sqrt{\frac{y}{a}}, \quad x_{2}=-\sqrt{\frac{y}{a}} \\ &y<0: N=0, \quad \text { no roots. } \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f(y|x) &= \delta\left(y-a x^{2}\right) \\\\ &= \begin{cases}\frac{1}{\left|g^{\prime}\left(x_{1}\right)\right|} \delta\left(x-x_{1}\right)+\frac{1}{\left|g^{\prime}\left(x_{2}\right)\right|} \delta\left(x-x_{2}\right) & , y \geq 0 \\ 0 & , y<0\end{cases} \\\\ &= \begin{cases}\frac{1}{2 \cdot \sqrt{a y}}\left(\delta\left(x-\sqrt{\frac{y}{a}}\right)+\delta\left(x+\sqrt{\frac{y}{a}}\right)\right) & , y \geq 0 \\ 0 & , y<0\end{cases} \\\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f_y(y) &= \int_{\mathbb{R}} f(y | x) \cdot f_{x}(x) d x \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{a y}}\left\{f_{x}\left(-\sqrt{\frac{y}{a}}\right)+f_x\left(\sqrt{\frac{y}{a}}\right)\right\} \cdot u(y) \qquad u(y)= \begin{cases}1, & y \geqslant 0 \\ 0, & \text { sonst }\end{cases} \end{aligned} $$Für $f_x(x) = \mathcal{N}(x, 0, \sigma)$ :
$$ f_{y}(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi a y}} \exp \left\{-\frac{1}{2} \frac{y}{a \sigma^{2}}\right\} u(y) $$