Motivation

Bisher: Systeme immer durch Gaußdichte repräsentiert.

Systemgleichung

$$ \underline{x}_{k+1} = \underline{a}_k (\underline{x}_k, \underline{w}_k) $$

kann durch Transitionsdichte $f(\underline{x}_{x+1} | \underline{x}_k)$ beschrieben werden.

Messgleichung

$$ \underline{y}_k = \underline{h}_k (\underline{x}_k, \underline{v}_k) $$

kann durch Likelihhod $f(\underline{y}_k | \underline{x}_k)$ beschrieben werden.

Allgemein für beide Gleichung:

$$ \underline{z} = \underline{h}(\underline{x}, \underline{v}) $$

Für lienare Systeme: Repräsentation durch Gaußdichte $\mathcal{N}(x, \mu, \sigma)$ ist in Ordnung

$$ z = Hx + v $$

Erwartungswert

$$ E(z | x) = Hx $$

Kovarianz

$$ \operatorname{Cov}(z \mid x)=E\left(\left[z-E(z|x)\right]^{2} \mid x\right)=\sigma_{v}^{2} $$

Daher

$$ \begin{aligned} f(z \mid x) &=\mathcal{N}\left(z, H \cdot x, \sigma_{v}\right) \\\\ & \propto \exp \left(-\frac{1}{2} \frac{(z-H \cdot x)^{2}}{\sigma_{v}^{2}}\right) \quad | \text { Gauß in } z \\\\ & \propto \exp \left\{-\frac{1}{2} \frac{\left(x-\frac{z}{H}\right)^{2}}{\left(\sigma_{v} / H\right)^{2}}\right\} \quad | \text { Gauß in } x \\\\ & = \mathcal{N}(x, \frac{z}{H}, \frac{\sigma_v}{H}) \end{aligned} $$

Aber im Allgemein für

$$ z = h(x) + v \tag{additives Rauschen} $$

ist $f(z|x)$ NICHT Gauß in $x$!!!

Wir benötigen eine Methode zur Berechnung von $f(z|x)$ im allgemeinen Fall. 💪