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SI
Allgemeine Systeme
Motivation

Motivation

Bisher: Systeme immer durch Gaußdichte repräsentiert.

Systemgleichung

x‾k+1=a‾k(x‾k,w‾k) \underline{x}_{k+1} = \underline{a}_k (\underline{x}_k, \underline{w}_k)

kann durch Transitionsdichte f(x‾x+1∣x‾k)f(\underline{x}_{x+1} | \underline{x}_k) beschrieben werden.

Messgleichung

y‾k=h‾k(x‾k,v‾k) \underline{y}_k = \underline{h}_k (\underline{x}_k, \underline{v}_k)

kann durch Likelihhod f(y‾k∣x‾k)f(\underline{y}_k | \underline{x}_k) beschrieben werden.

Allgemein für beide Gleichung:

z‾=h‾(x‾,v‾) \underline{z} = \underline{h}(\underline{x}, \underline{v})

Für lienare Systeme: Repräsentation durch Gaußdichte N(x,μ,σ)\mathcal{N}(x, \mu, \sigma) ist in Ordnung

z=Hx+v z = Hx + v

Erwartungswert

E(z∣x)=Hx E(z | x) = Hx

Kovarianz

Cov⁡(z∣x)=E([z−E(z∣x)]2∣x)=σv2 \operatorname{Cov}(z \mid x)=E\left(\left[z-E(z|x)\right]^{2} \mid x\right)=\sigma_{v}^{2}

Daher

f(z∣x)=N(z,H⋅x,σv)∝exp⁡(−12(z−H⋅x)2σv2)∣ Gauß in z∝exp⁡{−12(x−zH)2(σv/H)2}∣ Gauß in x=N(x,zH,σvH) \begin{aligned} f(z \mid x) &=\mathcal{N}\left(z, H \cdot x, \sigma_{v}\right) \\\\ & \propto \exp \left(-\frac{1}{2} \frac{(z-H \cdot x)^{2}}{\sigma_{v}^{2}}\right) \quad | \text { Gauß in } z \\\\ & \propto \exp \left\{-\frac{1}{2} \frac{\left(x-\frac{z}{H}\right)^{2}}{\left(\sigma_{v} / H\right)^{2}}\right\} \quad | \text { Gauß in } x \\\\ & = \mathcal{N}(x, \frac{z}{H}, \frac{\sigma_v}{H}) \end{aligned}

Aber im Allgemein für

z=h(x)+v(additives Rauschen) z = h(x) + v \tag{additives Rauschen}

ist f(z∣x)f(z|x) NICHT Gauß in xx!!!

Wir benötigen eine Methode zur Berechnung von f(z∣x)f(z|x) im allgemeinen Fall. 💪