Zweidimensionale Zufallsvariable Verteilungsfunktion und Dichte Eine vektorwertige Funktion
X โพ = X โพ ( ฯ ) : ฮฉ โ R 2
\underline{X}=\underline{X}(\omega): \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{2}
X โ = X โ ( ฯ ) : ฮฉ โ R 2 die jedem Ergebnis ฯ โ ฮฉ \omega \in \Omega ฯ โ ฮฉ x โพ = [ x 1 x 2 ] \underline{x}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] x โ = [ x 1 โ x 2 โ โ ] mehrdimensionale Zufallsvariable I a โพ = ( โ โ , a 1 ] ร ( โ โ , a 2 ] โ R 2 I_{\underline{a}}=\left(-\infty, a_{1}\right] \times\left(-\infty, a_{2}\right] \subset \mathbb{R}^{2} I a โ โ = ( โ โ , a 1 โ ] ร ( โ โ , a 2 โ ] โ R 2
X โ 1 ( I a ) โ B , โ a โพ โ R 2 .
X^{-1}\left(I_{a}\right) \in \mathfrak{B}, \quad \forall \underline{a} \in \mathbb{R}^{2}.
X โ 1 ( I a โ ) โ B , โ a โ โ R 2 . Verteilungsfunktion Die Funktion
F X โพ ( x โพ ) = F X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 ) = P ( X 1 โค x 1 , X 2 โค x 2 )
\begin{aligned}
F_{\underline{X}}(\underline{x}) &=F_{X_{1}, X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right) \\
&=\mathrm{P}\left(X_{1} \leq x_{1}, X_{2} \leq x_{2}\right)
\end{aligned}
F X โ โ ( x โ ) โ = F X 1 โ , X 2 โ โ ( x 1 โ , x 2 โ ) = P ( X 1 โ โค x 1 โ , X 2 โ โค x 2 โ ) โ der zweidimensionalen Zufallsvariablen X โพ \underline{X} X โ Verteilungsfunktion X โพ \underline{X} X โ
Dichte Die Dichte X โพ \underline{X} X โ F X โพ ( x โพ ) F_{\underline{X}}(\underline{x}) F X โ โ ( x โ )
f X โพ ( x โพ ) = f X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 ) = โ 2 โ x 1 โ x 2 F X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 )
f_{\underline{X}}(\underline{x})=f_{X_{1}, X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} F_{X_{1}, X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)
f X โ โ ( x โ ) = f X 1 โ , X 2 โ โ ( x 1 โ , x 2 โ ) = โ x 1 โ โ x 2 โ โ 2 โ F X 1 โ , X 2 โ โ ( x 1 โ , x 2 โ ) Sind beide Komponenten diskret verteilt, schreibt man fuฬr deren โDichteโ
f X โพ ( x โพ ) = โ n = 1 โ โ k = 1 โ P ( X 1 = x 1 , n , X 2 = x 2 , k ) โ
ฮด ( x 1 โ x 1 , n , x 2 โ x 2 , k )
f_{\underline{X}}(\underline{x})=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \mathrm{P}\left(X_{1}=x_{1, n}, X_{2}=x_{2, k}\right) \cdot \delta\left(x_{1}-x_{1, n}, x_{2}-x_{2, k}\right)
f X โ โ ( x โ ) = n = 1 โ โ โ k = 1 โ โ โ P ( X 1 โ = x 1 , n โ , X 2 โ = x 2 , k โ ) โ
ฮด ( x 1 โ โ x 1 , n โ , x 2 โ โ x 2 , k โ ) mit der zweidimensionalen ฮด \delta ฮด ฮด ( x 1 , x 2 ) \delta(x_1, x_2) ฮด ( x 1 โ , x 2 โ ) P ( X 1 = x 1 , n , X 2 = x 2 , k ) \mathrm{P}\left(X_{1}=x_{1, n}, X_{2}=x_{2, k}\right) P ( X 1 โ = x 1 , n โ , X 2 โ = x 2 , k โ )
Randdichten und bedingte Dichten X โพ \underline{X} X โ f ( X โพ ) = f X โพ ( x 1 , x 2 ) f(\underline{X})=f_{\underline{X}}\left(x_{1}, x_{2}\right) f ( X โ ) = f X โ โ ( x 1 โ , x 2 โ )
f X 1 ( x 1 ) = โซ โ โ โ f X โพ ( x 1 , x 2 ) d x 2 f X 2 ( x 2 ) = โซ โ โ โ f X โพ ( x 1 , x 2 ) d x 1
\begin{array}{l}
f_{X_{1}}\left(x_{1}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\underline{X}}\left(x_{1}, x_{2}\right) \mathrm{d} x_{2} \\
f_{X_{2}}\left(x_{2}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\underline{X}}\left(x_{1}, x_{2}\right) \mathrm{d} x_{1}
\end{array}
f X 1 โ โ ( x 1 โ ) = โซ โ โ โ โ f X โ โ ( x 1 โ , x 2 โ ) d x 2 โ f X 2 โ โ ( x 2 โ ) = โซ โ โ โ โ f X โ โ ( x 1 โ , x 2 โ ) d x 1 โ โ Randdichten X X X
X X X f X ( x 1 , x 2 ) f_X(x_1, x_2) f X โ ( x 1 โ , x 2 โ ) f X 1 ( x 1 ) > 0 f_{X_1}(x_1) > 0 f X 1 โ โ ( x 1 โ ) > 0 f X 2 ( x 2 ) > 0 f_{X_2}(x_2) > 0 f X 2 โ โ ( x 2 โ ) > 0
f X 1 ( x 1 โฃ X 2 = x 2 ) = f X โพ ( x 1 , x 2 ) f X 2 ( x 2 )
f_{X_{1}}\left(x_{1} \mid X_{2}=x_{2}\right)=\frac{f_{\underline{X}}\left(x_{1}, x_{2}\right)}{f_{X_{2}}\left(x_{2}\right)}
f X 1 โ โ ( x 1 โ โฃ X 2 โ = x 2 โ ) = f X 2 โ โ ( x 2 โ ) f X โ โ ( x 1 โ , x 2 โ ) โ die bedingte Dichte X 1 X_1 X 1 โ X 2 = x 2 X_2 = x_2 X 2 โ = x 2 โ
f X 2 ( x 2 โฃ X 1 = x 1 ) = f X โพ ( x 1 , x 2 ) f X 1 ( x 1 )
f_{X_{2}}\left(x_{2} \mid X_{1}=x_{1}\right)=\frac{f_{\underline{X}}\left(x_{1}, x_{2}\right)}{f_{X_{1}}\left(x_{1}\right)}
f X 2 โ โ ( x 2 โ โฃ X 1 โ = x 1 โ ) = f X 1 โ โ ( x 1 โ ) f X โ โ ( x 1 โ , x 2 โ ) โ ist die bedingte Dichte von X 2 X_2 X 2 โ X 1 = x 1 X_1 = x_1 X 1 โ = x 1 โ
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit fรผr Dichten
f _ X _ 1 ( x _ 1 ) = โซ _ โ โ โ f _ X _ 1 ( x _ 1 โฃ X _ 2 = x 2 ) f _ X _ 2 ( x _ 2 ) d x _ 2
f\_{X\_{1}}\left(x\_{1}\right)=\int\_{-\infty}^{\infty} f\_{X\_{1}}\left(x\_{1} \mid X\_{2}=x_{2}\right) f\_{X\_{2}}\left(x\_{2}\right) \mathrm{d} x\_{2}
f _ X _ 1 ( x _ 1 ) = โซ _ โ โ โ f _ X _ 1 ( x _ 1 โฃ X _ 2 = x 2 โ ) f _ X _ 2 ( x _ 2 ) d x _ 2 Satz von Bayes fรผr Dichten
f _ X _ 2 ( x _ 2 โฃ X _ 1 = x _ 1 ) = f _ X _ 1 ( x _ 1 โฃ X _ 2 = x _ 2 ) f _ X _ 2 ( x _ 2 ) โซ _ โ โ โ f _ X _ 1 ( x _ 1 โฃ X _ 2 = x _ 2 ) f _ X _ 2 ( x _ 2 ) d x _ 2
f\_{X\_{2}}\left(x\_{2} \mid X\_{1}=x\_{1}\right)=\frac{f\_{X\_{1}}\left(x\_{1} \mid X\_{2}=x\_{2}\right) f\_{X\_{2}}\left(x\_{2}\right)}{\int\_{-\infty}^{\infty} f\_{X\_{1}}\left(x\_{1} \mid X\_{2}=x\_{2}\right) f\_{X\_{2}}\left(x\_{2}\right) \mathrm{d} x\_{2}}
f _ X _ 2 ( x _ 2 โฃ X _ 1 = x _ 1 ) = โซ _ โ โ โ f _ X _ 1 ( x _ 1 โฃ X _ 2 = x _ 2 ) f _ X _ 2 ( x _ 2 ) d x _ 2 f _ X _ 1 ( x _ 1 โฃ X _ 2 = x _ 2 ) f _ X _ 2 ( x _ 2 ) โ Der bedingte Erwartungswert X 1 X_1 X 1 โ X 2 = x 2 X_2 = x_2 X 2 โ = x 2 โ
E f x โพ โพ { X 1 โฃ X 2 = x 2 } = โซ โ โ โ x 1 f X 1 ( x 1 โฃ X 2 = x 2 ) d x 1
\mathrm{E}_{f_{\underline{\underline{x}}}}\left\{X_{1} \mid X_{2}=x_{2}\right\}=\int_{-\infty}^{\infty} x_{1} f_{X_{1}}\left(x_{1} \mid X_{2}=x_{2}\right) \mathrm{d} x_{1}
E f x โ โ โ โ { X 1 โ โฃ X 2 โ = x 2 โ } = โซ โ โ โ โ x 1 โ f X 1 โ โ ( x 1 โ โฃ X 2 โ = x 2 โ ) d x 1 โ Unabhaฬngigkeit von Zufallsvariablen Zwei Zufallsvariablen X , Y X, Y X , Y unabhaฬngig
f X , Y ( x , y ) = f X ( x ) โ
f Y ( y )
f_{X, Y}(x, y)=f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y)
f X , Y โ ( x , y ) = f X โ ( x ) โ
f Y โ ( y ) Damit gilt auch
f X ( x โฃ Y = y ) = f X ( x )
f_{X}(x \mid Y=y)=f_{X}(x)
f X โ ( x โฃ Y = y ) = f X โ ( x ) Erwartungswert fรผr zweidimensionale Zufallsvariablen:
E f X , Y { g ( X , Y ) } = โซ โ โ โ โซ โ โ โ g ( x , y ) f X , Y ( x , y ) d x d y
\mathrm{E}_{f_{X, Y}}\{g(X, Y)\}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, y) f_{X, Y}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
E f X , Y โ โ { g ( X , Y )} = โซ โ โ โ โ โซ โ โ โ โ g ( x , y ) f X , Y โ ( x , y ) d x d y Die Kovarianz ฯ X , Y = Cov โก f X , Y { X , Y } \sigma_{X, Y}=\operatorname{Cov}_{\boldsymbol{f}_{X, Y}}\{X, Y\} ฯ X , Y โ = Cov f X , Y โ โ { X , Y } X X X Y Y Y
ฯ X , Y = Cov โก f X , Y { X , Y } = E { ( X โ E { X } ) โ
( Y โ E { Y } ) } = E { ( X โ ฮผ x ) โ
( Y โ ฮผ y ) }
\sigma_{X, Y}=\operatorname{Cov}_{f_{X, Y}}\{X, Y\}=\mathrm{E}\{(X-\mathrm{E}\{X\}) \cdot(Y-\mathrm{E}\{Y\})\}=\mathrm{E}\left\{\left(X-\mu_{x}\right) \cdot\left(Y-\mu_{y}\right)\right\}
ฯ X , Y โ = Cov f X , Y โ โ { X , Y } = E {( X โ E { X }) โ
( Y โ E { Y })} = E { ( X โ ฮผ x โ ) โ
( Y โ ฮผ y โ ) } Der Korrelationskoeffizient von X X X Y Y Y
ฯ X , Y = Cov โก f X , Y { X , Y } Var โก f X { X } Var โก f Y { Y } = ฯ X , Y ฯ X โ
ฯ Y โ [ โ 1 , 1 ]
\rho_{X, Y}=\frac{\operatorname{Cov}_{f_{X, Y}}\{X, Y\}}{\sqrt{\operatorname{Var}_{f_{X}}\{X\} \operatorname{Var}_{f_{Y}}\{Y\}}}=\frac{\sigma_{X, Y}}{\sigma_{X} \cdot \sigma_{Y}} \in [-1, 1]
ฯ X , Y โ = Var f X โ โ { X } Var f Y โ โ { Y } โ Cov f X , Y โ โ { X , Y } โ = ฯ X โ โ
ฯ Y โ ฯ X , Y โ โ โ [ โ 1 , 1 ] stellt ein Aฬhnlichkeitsmaร der Zufallsvariablen X X X Y Y Y โฃ ฯ X , Y โฃ = 1 \left|\rho_{X, Y}\right|=1 โฃ ฯ X , Y โ โฃ = 1 X X X Y Y Y โฃ ฯ X , Y โฃ = 0 \left|\rho_{X, Y}\right|=0 โฃ ฯ X , Y โ โฃ = 0 X X X Y Y Y i.e. , X X X Y Y Y unkorreliert )Unabhaฬngige Zufallsvariablen sind unkorreliert. (Die Umkehrung dieser Aussage gilt im allgemeinen NICHT!) Haben X X X Y Y Y [ X , Y ] โค [X, Y]^\top [ X , Y ] โค ฯ X , Y = 0 \rho_{X, Y} = 0 ฯ X , Y โ = 0 X X X Y Y Y Ist X โพ = { X 1 , X 2 , โฆ , X N } โค \underline{X}=\left\{X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}\right\}^{\top} X โ = { X 1 โ , X 2 โ , โฆ , X N โ } โค N N N Kovarianzmatrix ist
Cov โก f x โพ { X โพ } = E f x โพ โพ { ( X โพ โ ฮผ โพ ) ( X โพ โ ฮผ โพ ) โค } = [ Var โก X 1 { X 1 } Cov โก X 1 , X 2 { X 1 , X 2 } โฏ Cov โก X 1 , X N { X 1 , X N } Cov โก X 2 , X 1 { X 2 , X 1 } Var โก X 2 { X 2 } โฏ C o v X 2 , X N { X 2 , X N } โฎ โฎ โฑ โฎ Cov โก X N , X 1 { X N , X 1 } Cov โก X N , X 2 { X N , X 2 } โฏ Var โก X N { X N } ] = [ ฯ X 1 2 ฯ X 1 , X 2 ฯ X 1 ฯ X 2 โฏ ฯ X 1 , X N ฯ X 1 ฯ X N ฯ X 2 , X 1 ฯ X 2 ฯ X 1 ฯ X 2 2 โฏ ฯ X 2 , X N ฯ X 2 ฯ X N โฎ โฎ โฑ โฎ ฯ X N , X 1 ฯ X N ฯ X 1 ฯ X N , X 2 ฯ X N ฯ X 2 โฏ ฯ X N 2 ]
\begin{array}{l}
\operatorname{Cov}_{f_{\underline{x}}}\{\underline{X}\}=\mathrm{E}_{f_{\underline{\underline{x}}}}\left\{(\underline{X}-\underline{\mu})(\underline{X}-\underline{\mu})^{\top}\right\}\\
\newline
=\left[\begin{array}{cccc}
\operatorname{Var}_{X_{1}}\left\{X_{1}\right\} & \operatorname{Cov}_{X_{1}, X_{2}}\left\{X_{1}, X_{2}\right\} & \cdots & \operatorname{Cov}_{X_{1}, X_{N}}\left\{X_{1}, X_{N}\right\} \\
\operatorname{Cov}_{X_{2}, X_{1}}\left\{X_{2}, X_{1}\right\} & \operatorname{Var}_{X_{2}}\left\{X_{2}\right\} & \cdots & \mathrm{Cov}_{X_{2}, X_{N}}\left\{X_{2}, X_{N}\right\} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Cov}_{X_{N}, X_{1}}\left\{X_{N}, X_{1}\right\} & \operatorname{Cov}_{X_{N}, X_{2}}\left\{X_{N}, X_{2}\right\} & \cdots & \operatorname{Var}_{X_{N}}\left\{X_{N}\right\}
\end{array}\right]\\
\newline
=\left[\begin{array}{cccc}
\sigma_{X_{1}}^{2} & \rho_{X_{1}, X_{2}} \sigma_{X_{1}} \sigma_{X_{2}} & \cdots & \rho_{X_{1}, X_{N}} \sigma_{X_{1}} \sigma_{X_{N}} \\
\rho_{X_{2}, X_{1}} \sigma_{X_{2}} \sigma_{X_{1}} & \sigma_{X_{2}}^{2} & \cdots & \rho_{X_{2}, X_{N}} \sigma_{X_{2}} \sigma_{X_{N}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\rho_{X_{N}, X_{1}} \sigma_{X_{N}} \sigma_{X_{1}} & \rho_{X_{N}, X_{2}} \sigma_{X_{N}} \sigma_{X_{2}} & \cdots & \sigma_{X_{N}}^{2}
\end{array}\right]
\end{array}
Cov f x โ โ โ { X โ } = E f x โ โ โ โ { ( X โ โ ฮผ โ ) ( X โ โ ฮผ โ ) โค } = โ Var X 1 โ โ { X 1 โ } Cov X 2 โ , X 1 โ โ { X 2 โ , X 1 โ } โฎ Cov X N โ , X 1 โ โ { X N โ , X 1 โ } โ Cov X 1 โ , X 2 โ โ { X 1 โ , X 2 โ } Var X 2 โ โ { X 2 โ } โฎ Cov X N โ , X 2 โ โ { X N โ , X 2 โ } โ โฏ โฏ โฑ โฏ โ Cov X 1 โ , X N โ โ { X 1 โ , X N โ } Cov X 2 โ , X N โ โ { X 2 โ , X N โ } โฎ Var X N โ โ { X N โ } โ โ = โ ฯ X 1 โ 2 โ ฯ X 2 โ , X 1 โ โ ฯ X 2 โ โ ฯ X 1 โ โ โฎ ฯ X N โ , X 1 โ โ ฯ X N โ โ ฯ X 1 โ โ โ ฯ X 1 โ , X 2 โ โ ฯ X 1 โ โ ฯ X 2 โ โ ฯ X 2 โ 2 โ โฎ ฯ X N โ , X 2 โ โ ฯ X N โ โ ฯ X 2 โ โ โ โฏ โฏ โฑ โฏ โ ฯ X 1 โ , X N โ โ ฯ X 1 โ โ ฯ X N โ โ ฯ X 2 โ , X N โ โ ฯ X 2 โ โ ฯ X N โ โ โฎ ฯ X N โ 2 โ โ โ โ Detail Eine Kovarianzmatrix ist stets symmetrisch und positiv definit (oder positiv semidefinit).
