(Diracsche) Delta-Distribution / Delta-Funktion
Definition
Die Delta-Distribution (aka. Dirac-Funktion, Dirac-Maß, Impulsfunktion) ist eine spezielle irreguläre Distribution mit kompaktem Träger.
$$ \begin{array}{c} \delta(x)=0, \quad x \neq 0 \\\\ \displaystyle \int_{a}^{b} \delta(x) \mathrm{d} x=1, \quad a<0Illustration: Delta-Funktion im Ursprung wird als Pfeil bei $x=0$ dargestellt und repräsentiert eine Punktladung (Source: Dirac’sche Delta-Funktion und ihre Eigenschaften).
Delta-Funktion im Koordinatenursprung
Betrachte ein Integral der Delta-Funktion zusammen mit einer Testfunktion $f(x)$
$$ \int_{a}^{b} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x $$Denn $\delta(x)$ ist überall $0$, außer an der Stelle $x=0$.
$\Rightarrow$ $f(x)\delta(x)$ ist überall $0$, außer an der Stelle $x=0$.
$\Rightarrow$ Im Integral bleibt nur der Funktionswert $f(0)$ erhalten, der nicht von $x$ abhängt.
Daher gilt:
$$ \int_{a}^{b} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x= \int_{a}^{b} f(0)\delta(x) \mathrm{d} x=f(0) \underbrace{\int_{a}^{b} \delta(x)\mathrm{d} x}_{=1} = f(0) $$Eigenschaften
Verschobene Delta-Funktion
Verschiebe die Ladung an eine andere Stelle auf der $x$-Achse (z.B an die Stelle $x=x_0$). Das Argument der Delta-Funktion wird zu $\delta(x-x_0)$.
Die verschobene Delta-Funktion mit einer anderen Funktion $f(x)$ im Integral multipliziert:
$$ \int_{a}^{b} f(x) \delta\left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right) $$Beweis
Nach rechts verschobene Delta-Funktion pickt den Wert $f(x_0)$ der Funktion an der Stelle $x=x_0$.
Beispiel
Beispiel
Symmetrie
Delta-Funktion ist symmetrisch (gerade)
$$ \delta(x) = \delta(-x) $$Beweis
Skalierung
Skaliertes Argument der Delta-Funktion
$$ \int_{a}^{b} f(x) \delta(|k| x) \mathrm{d} x=\frac{1}{|k|} f(0) $$Beweis
Hintereinanderausführung
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(g(x)) \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^{n} \frac{f\left(x_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} $$wobei $g(x_i) = 0$ und $g^\prime(x_i) \neq 0$.
Beweis
Substituiere
$$ u := g(x) $$Dann gilt:
$$ \begin{aligned} x &= g^{-1}(u) \\\\ \frac{du}{dx} &= g^\prime(x) = g^\prime(g^{-1}(u)) \end{aligned} $$Da $\delta(x) \neq 0$ nur bei $x = 0$, können wir den Bereich des Integrals in kleine Intervalle um jede Nullstelle $x_i$ von $g(x)$ aufteilen, wobei $g(x)$ monoton und somit invertierbar ist.
$$ \begin{aligned} \int f(x) \delta(g(x)) d x &=\sum_{i} \int_{x_{i}-\varepsilon_{i}}^{x_{i}+\varepsilon_{i}} f(x) \delta(g(x)) d x \\\\ &=\sum_{i} \int_{g\left(x_{i}-\varepsilon_{i}\right)}^{g\left(x_{i}+\varepsilon_{i}\right)} f\left(g^{-1}(u)\right) \delta(u) \frac{1}{g^{\prime}\left(g^{-1}(u)\right)} d u \\\\ &=\sum_{i} \int_{g\left(x_{i}-\varepsilon_{i}\right)}^{g\left(x_{i}+\varepsilon_{i}\right)} \frac{f\left(g^{-1}(u)\right)}{g^{\prime}\left(g^{-1}(u)\right)} \delta(u) d u \\\\ &=\sum_{i} \int_{g\left(x_{i}-\varepsilon_{i}\right)}^{g\left(x_{i}+\varepsilon_{i}\right)} \frac{f\left(x_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x_{i}\right)} \delta(u) d u \quad(\ast) \end{aligned} $$$g^\prime (x_i) > 0$ :
$$ \begin{aligned} (\ast) &=\sum\_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x\_{i}\right)} \underbrace{\int\_{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}+\varepsilon\_{i}\right)} \delta(u) d u}\_{=1} \\\\ &=\sum\_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x\_{i}\right)} \\\\ &=\sum\_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{|g^{\prime}\left(x\_{i}\right)|} \end{aligned} $$$g^\prime (x_i) < 0$ :
Dann ist
$$ g(x_i + \varepsilon_i) < g(x_i - \varepsilon_i) $$Daher
$$ \begin{aligned} (\ast) &=\sum_{i} \int\_{g\left(x\_{i}+\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x\_{i}\right)} \delta(u) d u \\\\ &=\sum\_{i} \int\_{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}+\varepsilon_{i}\right)}-\frac{f\left(x_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x\_{i}\right)} \delta(u) d u \\\\ &=\sum\_{i} \int_{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}+\varepsilon\_{i}\right)} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} \delta(u) d u \\\\ &=\sum\_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x\_{i}\right)\right|} \underbrace{\int\_{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}+\varepsilon\_{i}\right)} \delta(u) d u}\_{=1} \\\\ &=\sum_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x\_{i}\right)\right|} \end{aligned} $$Also
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(g(x)) \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^{n} \frac{f\left(x_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} \qquad (\square) $$Ref: Dirac Delta Function of a Function