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Delta-Distribution

(Diracsche) Delta-Distribution / Delta-Funktion

Definition

Die Delta-Distribution (aka. Dirac-Funktion, Dirac-Maß, Impulsfunktion) ist eine spezielle irreguläre Distribution mit kompaktem Träger.

$$ \begin{array}{c} \delta(x)=0, \quad x \neq 0 \\\\ \displaystyle \int_{a}^{b} \delta(x) \mathrm{d} x=1, \quad a<0Illustration: Delta-Funktion im Ursprung wird als Pfeil bei x=0x=0 dargestellt und repräsentiert eine Punktladung (Source: Dirac’sche Delta-Funktion und ihre Eigenschaften).

Darstellung einer Delta-Funktion im Ursprung als Pfeil

Delta-Funktion im Koordinatenursprung

Betrachte ein Integral der Delta-Funktion zusammen mit einer Testfunktion f(x)f(x)

∫abf(x)δ(x)dx \int_{a}^{b} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x

Denn δ(x)\delta(x) ist überall 00, außer an der Stelle x=0x=0.

⇒\Rightarrow f(x)δ(x)f(x)\delta(x) ist überall 00, außer an der Stelle x=0x=0.

⇒\Rightarrow Im Integral bleibt nur der Funktionswert f(0)f(0) erhalten, der nicht von xx abhängt.

Delta-Funktion pickt den Funktionswert am Ursprung in einem Intervall

Daher gilt:

∫abf(x)δ(x)dx=∫abf(0)δ(x)dx=f(0)∫abδ(x)dx⏟=1=f(0) \int_{a}^{b} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x= \int_{a}^{b} f(0)\delta(x) \mathrm{d} x=f(0) \underbrace{\int_{a}^{b} \delta(x)\mathrm{d} x}_{=1} = f(0)

Eigenschaften

Bei Berechnen/Verweden/Überprüfen der Eigenschaften von Dirac-Funktion ist es wichtig, die Substitutionsregel zu verwenden.

Verschobene Delta-Funktion

Verschiebe die Ladung an eine andere Stelle auf der xx-Achse (z.B an die Stelle x=x0x=x_0). Das Argument der Delta-Funktion wird zu δ(x−x0)\delta(x-x_0).

Die verschobene Delta-Funktion mit einer anderen Funktion f(x)f(x) im Integral multipliziert:

∫abf(x)δ(x−x0)dx=f(x0) \int_{a}^{b} f(x) \delta\left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right)
Beweis
verschobene_Dirac_Fkt
Verschobene Delta-Funktion pickt einen Funktionswert heraus

Nach rechts verschobene Delta-Funktion pickt den Wert f(x0)f(x_0) der Funktion an der Stelle x=x0x=x_0.

Beispiel
截屏2022-06-02 12.10.45
Beispiel
Eine Delta-Funktion außerhlad der Integrationsgrenzen
截屏2022-06-02 12.11.43

Symmetrie

Delta-Funktion ist symmetrisch (gerade)

δ(x)=δ(−x) \delta(x) = \delta(-x)
Beweis
截屏2022-06-02 12.47.40

Skalierung

Skaliertes Argument der Delta-Funktion

∫abf(x)δ(∣k∣x)dx=1∣k∣f(0) \int_{a}^{b} f(x) \delta(|k| x) \mathrm{d} x=\frac{1}{|k|} f(0)
Beweis
截屏2022-06-02 16.27.14

Hintereinanderausführung

∫−∞∞f(x)δ(g(x))dx=∑i=1nf(xi)∣g′(xi)∣ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(g(x)) \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^{n} \frac{f\left(x_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|}

wobei g(xi)=0g(x_i) = 0 und g′(xi)≠0g^\prime(x_i) \neq 0.

Beweis

Substituiere

u:=g(x) u := g(x)

Dann gilt:

x=g−1(u)dudx=g′(x)=g′(g−1(u)) \begin{aligned} x &= g^{-1}(u) \\\\ \frac{du}{dx} &= g^\prime(x) = g^\prime(g^{-1}(u)) \end{aligned}

Da δ(x)≠0\delta(x) \neq 0 nur bei x=0x = 0, können wir den Bereich des Integrals in kleine Intervalle um jede Nullstelle xix_i von g(x)g(x) aufteilen, wobei g(x)g(x) monoton und somit invertierbar ist.

∫f(x)δ(g(x))dx=∑i∫xi−εixi+εif(x)δ(g(x))dx=∑i∫g(xi−εi)g(xi+εi)f(g−1(u))δ(u)1g′(g−1(u))du=∑i∫g(xi−εi)g(xi+εi)f(g−1(u))g′(g−1(u))δ(u)du=∑i∫g(xi−εi)g(xi+εi)f(xi)g′(xi)δ(u)du(∗) \begin{aligned} \int f(x) \delta(g(x)) d x &=\sum_{i} \int_{x_{i}-\varepsilon_{i}}^{x_{i}+\varepsilon_{i}} f(x) \delta(g(x)) d x \\\\ &=\sum_{i} \int_{g\left(x_{i}-\varepsilon_{i}\right)}^{g\left(x_{i}+\varepsilon_{i}\right)} f\left(g^{-1}(u)\right) \delta(u) \frac{1}{g^{\prime}\left(g^{-1}(u)\right)} d u \\\\ &=\sum_{i} \int_{g\left(x_{i}-\varepsilon_{i}\right)}^{g\left(x_{i}+\varepsilon_{i}\right)} \frac{f\left(g^{-1}(u)\right)}{g^{\prime}\left(g^{-1}(u)\right)} \delta(u) d u \\\\ &=\sum_{i} \int_{g\left(x_{i}-\varepsilon_{i}\right)}^{g\left(x_{i}+\varepsilon_{i}\right)} \frac{f\left(x_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x_{i}\right)} \delta(u) d u \quad(\ast) \end{aligned}

g′(xi)>0g^\prime (x_i) > 0 :

(∗)=∑_if(x_i)g′(x_i)∫_g(x_i−ε_i)g(x_i+ε_i)δ(u)du⏟_=1=∑_if(x_i)g′(x_i)=∑_if(x_i)∣g′(x_i)∣ \begin{aligned} (\ast) &=\sum\_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x\_{i}\right)} \underbrace{\int\_{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}+\varepsilon\_{i}\right)} \delta(u) d u}\_{=1} \\\\ &=\sum\_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x\_{i}\right)} \\\\ &=\sum\_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{|g^{\prime}\left(x\_{i}\right)|} \end{aligned}

g′(xi)<0g^\prime (x_i) < 0 :

Dann ist

g(xi+εi)<g(xi−εi) g(x_i + \varepsilon_i) < g(x_i - \varepsilon_i)

Daher

(∗)=∑i∫_g(x_i+ε_i)g(x_i−ε_i)f(x_i)g′(x_i)δ(u)du=∑_i∫_g(x_i−ε_i)g(x_i+εi)−f(xi)g′(x_i)δ(u)du=∑_i∫g(x_i−ε_i)g(x_i+ε_i)f(x_i)∣g′(xi)∣δ(u)du=∑_if(x_i)∣g′(x_i)∣∫_g(x_i−ε_i)g(x_i+ε_i)δ(u)du⏟_=1=∑if(x_i)∣g′(x_i)∣ \begin{aligned} (\ast) &=\sum_{i} \int\_{g\left(x\_{i}+\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x\_{i}\right)} \delta(u) d u \\\\ &=\sum\_{i} \int\_{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}+\varepsilon_{i}\right)}-\frac{f\left(x_{i}\right)}{g^{\prime}\left(x\_{i}\right)} \delta(u) d u \\\\ &=\sum\_{i} \int_{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}+\varepsilon\_{i}\right)} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} \delta(u) d u \\\\ &=\sum\_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x\_{i}\right)\right|} \underbrace{\int\_{g\left(x\_{i}-\varepsilon\_{i}\right)}^{g\left(x\_{i}+\varepsilon\_{i}\right)} \delta(u) d u}\_{=1} \\\\ &=\sum_{i} \frac{f\left(x\_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x\_{i}\right)\right|} \end{aligned}

Also

∫−∞∞f(x)δ(g(x))dx=∑i=1nf(xi)∣g′(xi)∣(□) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(g(x)) \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^{n} \frac{f\left(x_{i}\right)}{\left|g^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} \qquad (\square)

Ref: Dirac Delta Function of a Function

Reference