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Wertekontinuierliche lineare Systeme
Statische und Dynamische Systeme

Statische und Dynamische Systeme

Linearität

Gegeben ein System SS

wertekontinuierliche_lineare_systeme.drawio

x‾k→y‾kk∈N0 \underline{x}_k \rightarrow \underline{y}_k \qquad k \in \mathbb{N}_0

Zwei Bedingungen der Linearität

  • Skalierung

    x‾k→y‾k⇒A⋅x‾k→A⋅y‾k \underline{x}_k \rightarrow \underline{y}_k \Rightarrow A \cdot \underline{x}_k \rightarrow A \cdot \underline{y}_k

  • Superposition

    x‾k1→y‾k1,x‾k2→y‾k2⇒x‾k1+x‾k2→y‾k1+y‾k2 \begin{aligned} \underline{x}_k^1 \rightarrow \underline{y}_k^1, \quad \underline{x}_k^2 \rightarrow \underline{y}_k^2 \\ \Rightarrow \underline{x}_k^1 + \underline{x}_k^2 \rightarrow \underline{y}_k^1 + \underline{y}_k^2 \end{aligned}

Statische Systeme

  • Ein-/Ausgänge: Zufallsvektoren u‾k\underline{u}_k und y‾k\underline{y}_k (k∈N0k \in \mathbb{N}_0 ist der Zeitschritt)

    wertekontinuierliche_lineare_systeme-statische_systeme.drawio
    • u‾k∈RP\underline{u}_k \in \mathbb{R}^P und y‾k∈RM\underline{y}_k \in \mathbb{R}^M sind wertekontinuierlich

  • Abbildung von u‾k\underline{u}_k und y‾k\underline{y}_k durch lineare Abbildung

    y‾k=Ak⋅u‾k \underline{y}_k = \mathbf{A}_k \cdot \underline{u}_k

    wobei Ak∈RM×P\mathbf{A}_k \in \mathbb{R}^{M \times P}

  • Beschreibung der Unsicherheiten in u‾k\underline{u}_k und y‾k\underline{y}_k durch die ersten beiden Momente

    • Erwartungswert
      • u^‾k:=E{u‾k}\underline{\hat{u}}_k := E\{\underline{u}_k\}
      • y^‾k:=E{y‾k}\underline{\hat{y}}_k := E\{\underline{y}_k\}
    • Kovarianz Matrix
      • Cku:=Cov⁡{u‾k}C_k^u := \operatorname{Cov}\{\underline{u}_k\}
      • Cky:=Cov⁡{y‾k}C_k^y := \operatorname{Cov}\{\underline{y}_k\}

  • Beschreibung der Kenngröße y^‾k,Cky\underline{\hat{y}}_k, C_k^y für gegebene u^‾k,Cku\underline{\hat{u}}_k, C_k^u

    y^k=E{y‾k}=E{Ak⋅xk}=Ak⋅E{xk}=Ak⋅u‾^kCky=Cov⁡{y‾k}=E{(yk−y^k)(y‾k−y‾k)⊤}=E{Ak(u‾k−u^‾k)(u‾k−u^‾k)⊤Ak⊤}=AkE{(u‾k−u^k)(u‾k−u^‾k)⊤}Ak⊤=Ak⋅Cku⋅Ak⊤ \begin{aligned} \hat{y}_{k} &=E\left\{\underline{y}_{k}\right\} \\ &=E\left\{A_{k} \cdot x_{k}\right\} \\ &=A_{k} \cdot E\left\{x_{k}\right\} \\ &=A_{k} \cdot \hat{\underline{u}}_{k} \\\\ C_{k}^{y} &=\operatorname{Cov}\left\{\underline{y}_{k}\right\} \\ &=E\left\{\left(y_{k}-\hat{y}_{k}\right)\left(\underline{y}_{k}-\underline{y}_{k}\right)^{\top}\right\} \\ &=E\left\{A_{k}\left(\underline{u}_{k}-\underline{\hat{u}}_{k}\right)\left(\underline{u}_{k}-\underline{\hat{u}}_{k}\right)^{\top} A_{k}^{\top}\right\} \\ &=A_{k} E\left\{\left(\underline{u}_{k}-\hat{u}_{k}\right)\left(\underline{u}_{k}-\underline{\hat{u}}_{k}\right)^{\top}\right\} A_{k}^{\top} \\ &=A_{k} \cdot C_{k}^{u} \cdot A_{k}^{\top} \end{aligned}

Dynamische Systeme

  • Anregung hängt nicht nur vom aktuellen Eingang u‾k\underline{u}_k ab (analog wie wertdiskrete Systeme), sondern auch vom aktuellen Zustand
  • Zustände werden in internen Speichern gespeichert
  • Gesamtsystem ("Gauß-Markov-Modell") besteht aus
    • Systemabbildung
    • Messabbildung
Graphische Darstellung von dynamischer Systeme

Graphische Darstellung von dynamischer Systeme

Systemabbildung

Definition

Ein lineares Zustandraummodell wird als zeitinvariant (Engl. Linear Time Invariant (LTI)) bezeichnet, falls die Systemmatrizen nicht von Zeitindex kk abhängen, also

A_k=A,B_k=B \mathbf{A}\_{k} = \mathbf{A}, \quad \mathbf{B}\_{k} = \mathbf{B}

Zeitliche Entwicklung (linear)

x‾k+1=Ak⋅x‾k+Bk⋅(u~‾k+w‾k)⏟=u‾k \underline{x}_{k+1}=\mathbf{A}_{k} \cdot \underline{x}_{k}+\mathbf{B}_{k} \cdot \underbrace{(\underline{\tilde{u}}_{k}+\underline{w}_{k})}_{=\underline{u}_{k}}

  • Zustand: Zufallsvektor x‾k∈RN,k∈N0\underline{x}_k \in \mathbb{R}^N, k\in \mathbb{N}_0

  • Markov-Modell (erster Ordnung): x‾k+1\underline{x}_{k+1} hängt NUR von x‾k\underline{x}_{k} und u‾k\underline{u}_{k} ab

  • Häufig wird u‾k\underline{u}_{k} mit mittelwertfreien Rauschen argestellt

    u‾k=u~‾k+w‾k \underline{u}_{k}=\underline{\tilde{u}}_{k}+\underline{w}_{k}
    • u~‾k\underline{\tilde{u}}_{k} bekannt
    • Zufallsvektor w‾k\underline{w}_{k} mit E{w‾k}=0‾,Cov⁡{w‾k}=ckwE\{\underline{w}_k\} = \underline{0}, \operatorname{Cov}\{\underline{w}_k\} = c_k^w

Messabbildung

  • Zustand x‾k\underline{x}_k typischerweise NICHT verfügbar

  • Ausgang y‾k\underline{y}_{k} hängt von x‾k\underline{x}_k und evtl. von u‾k\underline{u}_k

  • Lineare Messabbildung

    y‾k=Hk⋅x‾k+v‾k \underline{y}_{k}=\mathbf{H}_{k} \cdot \underline{x}_{k}+\underline{v}_{k}
    • v‾k\underline{v}_{k}: additives mittelwertfreien Messrauschen (E{w‾k}=0‾,Cov⁡{w‾k}=ckwE\{\underline{w}_k\} = \underline{0}, \operatorname{Cov}\{\underline{w}_k\} = c_k^w )
    • Messabbildung ist zeitinvaraint, falls Hk=H\mathbf{H}_{k} = \mathbf{H}

Einschub: Systemeigenschaften zeitdiskreter Systeme

Für Definitionen von Systemeigenschaften zeitdiskreter Systeme siehe Signale und Systeme1 Seite 312 - 314.

Linearität

Ein zeitdiskretes System S\mathcal{S} heißt linear, wenn für zwei beliebige Eingangssignale ye1,ny_{\mathrm{e} 1, n} und ye2,ny_{\mathrm{e} 2, n} und zwei beliebige Konstanten c1,c2∈Rc_1, c_2 \in \mathbb{R} oder C\mathbb{C}

S{c1ye1,n+c2ye2,n}=c1S{ye1,n}+c2S{ye2,n} \mathcal{S}\left\{c_{1} y_{\mathrm{e} 1, n}+c_{2} y_{\mathrm{e} 2, n}\right\}=c_{1} \mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} 1, n}\right\}+c_{2} \mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} 2, n}\right\}

gilt.

  • Erweiterung auf auf NN Eingangssignale

    S{∑i=1Nciyei,n}=∑i=1NciS{yei,n} \mathcal{S}\left\{\sum_{i=1}^{N} c_{i} y_{\mathrm{e} i, n}\right\}=\sum_{i=1}^{N} c_{i} \mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} i, n}\right\}

  • Erweiterung auf unendlich viele Eingangssignale

    S{∑i=−∞∞ciyei,n}=∑i=−∞∞ciS{yei,n} \mathcal{S}\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} c_{i} y_{\mathrm{e} i, n}\right\}=\sum_{i=-\infty}^{\infty} c_{i} \mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} i, n}\right\}

Zeitinvarianz

Ein zeitdiskretes System S\mathcal{S} heißt zeitinvariant, wenn es auf ein zeitlich verschobenes Eingangssignal ye,n−n0y_{\mathrm{e}, n-n_{0}} mit dem entsprechend zeitlichverschobenen Ausgangssignal ya,n−n0y_{\mathrm{a}, n-n_{0}} antwortet

ya,n=S{ye,n}⟹ya,n−n0=S{ye,n−n0}. y_{\mathrm{a}, n}=\mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e}, n}\right\} \quad \Longrightarrow \quad y_{\mathrm{a}, n-n_{0}}=\mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e}, n-n_{0}}\right\}.

Sonst heißen die Systeme zeitvariant.

Kausalität

Ein zeitdiskretes System S heißt kausal, wenn die Antwort NUR von gegenwärtigen oder vergangenen, nicht jedoch von zukünftigen Werten des Eingangssignals abhängt.

Dies bedeutet, dass für ein System S\mathcal{S} aus

ye1,n=ye2,n fu¨r n≤n1 y_{\mathrm{e} 1, n}=y_{\mathrm{e} 2, n} \quad \text { für } n \leq n_{1}

und

ya1,n=S{ye1,n},ya2,n=S{ye2,n} y_{\mathrm{a} 1, n}=\mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} 1, n}\right\}, \quad y_{\mathrm{a} 2, n}=\mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} 2, n}\right\}

stets

ya1,n=ya2,n fu¨r n≤n1 y_{\mathrm{a} 1, n}=y_{\mathrm{a} 2, n} \quad \text { für } n \leq n_{1}

folgt.

Beispiel

(Übungsblatt 5, Aufgabe 1)

Ein zeidiskretes wertekontinuierliches System SS wird durch die Differenzengleichung

yk−2k⋅yk+1+3⋅yk+22=4⋅uk−2⋅uk+1 y_{k}-2^{k} \cdot y_{k+1}+3 \cdot y_{k+2}^{2}=4 \cdot u_{k}-2 \cdot u_{k+1}

beschrieben.

  1. Ist das System SS linear?

    Das System SS ist aufgrund des Terms yk+22y_{k+2}^{2} NICHT linear.

  2. Ist das System SS zeitinvariant?

    Das System SS ist wegen des zeitabhängigen Koeffizienten 2k2^k von yk+1y_{k+1} zeitvariant.

  3. Ist das System SS kausal?

    Das System SS ist kausal, da yk+2y_{k+2} nur von vergangenen Eingangswerten abhängt.

  1. F. P. León and H. Jäkel. Signale und Systeme. De Gruyter Oldenbourg, Berlin, Boston, 02 Sep. 2019. ISBN 978-3-11-062632-2. doi: https://doi.org/10.1515/9783110626322. URL https://www.degruyter.com/view/title/543041. ↩︎