Statische und Dynamische Systeme

Linearität

Gegeben ein System $S$

$$ \underline{x}_k \rightarrow \underline{y}_k \qquad k \in \mathbb{N}_0 $$

Zwei Bedingungen der Linearität

• Skalierung

  $$ \underline{x}_k \rightarrow \underline{y}_k \Rightarrow A \cdot \underline{x}_k \rightarrow A \cdot \underline{y}_k $$

• Superposition

  $$ \begin{aligned} \underline{x}_k^1 \rightarrow \underline{y}_k^1, \quad \underline{x}_k^2 \rightarrow \underline{y}_k^2 \\ \Rightarrow \underline{x}_k^1 + \underline{x}_k^2 \rightarrow \underline{y}_k^1 + \underline{y}_k^2 \end{aligned} $$

Statische Systeme

• Ein-/Ausgänge: Zufallsvektoren $\underline{u}_k$ und $\underline{y}_k$ ($k \in \mathbb{N}_0$ ist der Zeitschritt)

  
  • $\underline{u}_k \in \mathbb{R}^P$ und $\underline{y}_k \in \mathbb{R}^M$ sind wertekontinuierlich

• Abbildung von $\underline{u}_k$ und $\underline{y}_k$ durch lineare Abbildung

  $$ \underline{y}_k = \mathbf{A}_k \cdot \underline{u}_k $$

  wobei $\mathbf{A}_k \in \mathbb{R}^{M \times P}$

• Beschreibung der Unsicherheiten in $\underline{u}_k$ und $\underline{y}_k$ durch die ersten beiden Momente

  • Erwartungswert
    • $\underline{\hat{u}}_k := E\{\underline{u}_k\}$
    • $\underline{\hat{y}}_k := E\{\underline{y}_k\}$
  • Kovarianz Matrix
    • $C_k^u := \operatorname{Cov}\{\underline{u}_k\}$
    • $C_k^y := \operatorname{Cov}\{\underline{y}_k\}$

• Beschreibung der Kenngröße $\underline{\hat{y}}_k, C_k^y$ für gegebene $\underline{\hat{u}}_k, C_k^u$

  $$ \begin{aligned} \hat{y}_{k} &=E\left\{\underline{y}_{k}\right\} \\ &=E\left\{A_{k} \cdot x_{k}\right\} \\ &=A_{k} \cdot E\left\{x_{k}\right\} \\ &=A_{k} \cdot \hat{\underline{u}}_{k} \\\\ C_{k}^{y} &=\operatorname{Cov}\left\{\underline{y}_{k}\right\} \\ &=E\left\{\left(y_{k}-\hat{y}_{k}\right)\left(\underline{y}_{k}-\underline{y}_{k}\right)^{\top}\right\} \\ &=E\left\{A_{k}\left(\underline{u}_{k}-\underline{\hat{u}}_{k}\right)\left(\underline{u}_{k}-\underline{\hat{u}}_{k}\right)^{\top} A_{k}^{\top}\right\} \\ &=A_{k} E\left\{\left(\underline{u}_{k}-\hat{u}_{k}\right)\left(\underline{u}_{k}-\underline{\hat{u}}_{k}\right)^{\top}\right\} A_{k}^{\top} \\ &=A_{k} \cdot C_{k}^{u} \cdot A_{k}^{\top} \end{aligned} $$

Dynamische Systeme

• Anregung hängt nicht nur vom aktuellen Eingang $\underline{u}_k$ ab (analog wie wertdiskrete Systeme), sondern auch vom aktuellen Zustand
• Zustände werden in internen Speichern gespeichert
• Gesamtsystem ("Gauß-Markov-Modell") besteht aus
  • Systemabbildung
  • Messabbildung

Systemabbildung

Zeitliche Entwicklung (linear)

$$ \underline{x}_{k+1}=\mathbf{A}_{k} \cdot \underline{x}_{k}+\mathbf{B}_{k} \cdot \underbrace{(\underline{\tilde{u}}_{k}+\underline{w}_{k})}_{=\underline{u}_{k}} $$

• Zustand: Zufallsvektor $\underline{x}_k \in \mathbb{R}^N, k\in \mathbb{N}_0$

• Markov-Modell (erster Ordnung): $\underline{x}_{k+1}$ hängt NUR von $\underline{x}_{k}$ und $\underline{u}_{k}$ ab

• Häufig wird $\underline{u}_{k}$ mit mittelwertfreien Rauschen argestellt

  $$ \underline{u}_{k}=\underline{\tilde{u}}_{k}+\underline{w}_{k} $$
  • $\underline{\tilde{u}}_{k}$ bekannt
  • Zufallsvektor $\underline{w}_{k}$ mit $E\{\underline{w}_k\} = \underline{0}, \operatorname{Cov}\{\underline{w}_k\} = c_k^w$

Messabbildung

• Zustand $\underline{x}_k$ typischerweise NICHT verfügbar

• Ausgang $\underline{y}_{k}$ hängt von $\underline{x}_k$ und evtl. von $\underline{u}_k$

• Lineare Messabbildung

  $$ \underline{y}_{k}=\mathbf{H}_{k} \cdot \underline{x}_{k}+\underline{v}_{k} $$
  • $\underline{v}_{k}$: additives mittelwertfreien Messrauschen ($E\{\underline{w}_k\} = \underline{0}, \operatorname{Cov}\{\underline{w}_k\} = c_k^w$ )
  • Messabbildung ist zeitinvaraint, falls $\mathbf{H}_{k} = \mathbf{H}$

Einschub: Systemeigenschaften zeitdiskreter Systeme

Für Definitionen von Systemeigenschaften zeitdiskreter Systeme siehe Signale und Systeme¹ Seite 312 - 314.

Linearität

Ein zeitdiskretes System $\mathcal{S}$ heißt linear, wenn für zwei beliebige Eingangssignale $y_{\mathrm{e} 1, n}$ und $y_{\mathrm{e} 2, n}$ und zwei beliebige Konstanten $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$

$$ \mathcal{S}\left\{c_{1} y_{\mathrm{e} 1, n}+c_{2} y_{\mathrm{e} 2, n}\right\}=c_{1} \mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} 1, n}\right\}+c_{2} \mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} 2, n}\right\} $$

gilt.

• Erweiterung auf auf $N$ Eingangssignale

  $$ \mathcal{S}\left\{\sum_{i=1}^{N} c_{i} y_{\mathrm{e} i, n}\right\}=\sum_{i=1}^{N} c_{i} \mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} i, n}\right\} $$

• Erweiterung auf unendlich viele Eingangssignale

  $$ \mathcal{S}\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} c_{i} y_{\mathrm{e} i, n}\right\}=\sum_{i=-\infty}^{\infty} c_{i} \mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} i, n}\right\} $$

Zeitinvarianz

Ein zeitdiskretes System $\mathcal{S}$ heißt zeitinvariant, wenn es auf ein zeitlich verschobenes Eingangssignal $y_{\mathrm{e}, n-n_{0}}$ mit dem entsprechend zeitlichverschobenen Ausgangssignal $y_{\mathrm{a}, n-n_{0}}$ antwortet

$$ y_{\mathrm{a}, n}=\mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e}, n}\right\} \quad \Longrightarrow \quad y_{\mathrm{a}, n-n_{0}}=\mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e}, n-n_{0}}\right\}. $$

Sonst heißen die Systeme zeitvariant.

Kausalität

Ein zeitdiskretes System S heißt kausal, wenn die Antwort NUR von gegenwärtigen oder vergangenen, nicht jedoch von zukünftigen Werten des Eingangssignals abhängt.

Dies bedeutet, dass für ein System $\mathcal{S}$ aus

$$ y_{\mathrm{e} 1, n}=y_{\mathrm{e} 2, n} \quad \text { für } n \leq n_{1} $$

und

$$ y_{\mathrm{a} 1, n}=\mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} 1, n}\right\}, \quad y_{\mathrm{a} 2, n}=\mathcal{S}\left\{y_{\mathrm{e} 2, n}\right\} $$

stets

$$ y_{\mathrm{a} 1, n}=y_{\mathrm{a} 2, n} \quad \text { für } n \leq n_{1} $$

folgt.

Beispiel

(Übungsblatt 5, Aufgabe 1)

Ein zeidiskretes wertekontinuierliches System $S$ wird durch die Differenzengleichung

$$ y_{k}-2^{k} \cdot y_{k+1}+3 \cdot y_{k+2}^{2}=4 \cdot u_{k}-2 \cdot u_{k+1} $$

beschrieben.

1. Ist das System $S$ linear?

   Das System $S$ ist aufgrund des Terms $y_{k+2}^{2}$ NICHT linear.

2. Ist das System $S$ zeitinvariant?

   Das System $S$ ist wegen des zeitabhängigen Koeffizienten $2^k$ von $y_{k+1}$ zeitvariant.

3. Ist das System $S$ kausal?

   Das System $S$ ist kausal, da $y_{k+2}$ nur von vergangenen Eingangswerten abhängt.