Statische und Dynamische Systeme

Statische Systeme

• Ein-/Ausgang: Zufallsvektoren $\underline{u}_k$ und $\underline{y}_k$ ($k \in \mathbb{N}_0$ ist der Zeitschritt)

  • $\underline{u}_k \in \mathbb{R}^P$ und $\underline{y}_k \in \mathbb{R}^M$ sind wertekontinuierlich

• Abbildung von $\underline{u}_k$ und $\underline{y}_k$ durch nichtlineare Abbildung

  $$ \underline{y}_{k}=\underline{a}_{k}\left(\underline{u}_{k}\right) \tag{Generatives Modell} $$

• Beschreibung der Unsicherheit in $\underline{u}_k$ und $\underline{y}_k$ durch Dichten

  • $\underline{u}_k$ : $f_{k}^{u}\left(\underline{u}_{k}\right)$
  • $\underline{y}_k$ : $f_k^y(\underline{y}_k)$

• Gesucht: $f_k^y(\underline{y}_k)$ zu gegeben $f_{k}^{u}\left(\underline{u}_{k}\right)$

Dynamische Systeme

Systemabbildung

• Zustand $\underline{x}_k, k \in \mathbb{N}_0$ mit $\underline{x}_k \in \mathbb{R}^N$

• Nichtlineare System (allg.)

  $$ \underline{x}_{k+1}=\underline{a}_{k}\left(\underline{x}_{k}, \underline{\hat{u}}_{k}, \underline{w}_{k}\right) $$

• Beschreibung von $\underline{x}_k$ durch Dichte $f_k^x(\underline{x}_k)$

• Spezielle Rauschstruktur: Additives Rauschen

  $$ \underline{x}_{k+1}=\underline{a}\left(\underline{x}_{k}, \underline{\hat{u}}_{k}\right)+\underline{w}_{k} $$

  • Systemrauschen $\underline{w}_k$ wird beschrieben durch Dichte $f_k^w(\underline{w}_k)$

  • Typische Annahme

    • $\underline{w}_k$ ist Gauß verteilt mit bekannten Parametern

    • $\underline{w}_k$ ist weißes Rauschen

      White noise: uncertainties taken at different time steps are independent

Messabbildung

• Nichtlineare Abbildung (allg.)

  $$ \underline{y}_{k}=\underline{h}_{k}\left(\underline{x}_{u}, \underline{v}_{k}\right) $$

  • Spezialfall: Additives Rauschen

    $$ \underline{y}_{k}=\underline{h}_{k}\left(\underline{x}_{u}\right) + \underline{v}_{k} $$

    Rauschen $\underline{v}_{k}$ beschrieben durch $f_k^v(\underline{v}_k)$

Gesammtsystem

Lineare Vs. Nichtlineare Systeme